Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AS = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AS, đặt \[AM = x\left[ {0 \le x \le 2{\rm{a}}} \right]\].
a] Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp[MBC] là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b] Tính khoảng cách từ điểm S đến mp[MBC] ứng với mỗi vị trí của M.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[BC//SA{\rm{D}},M \in mp\left[ {SA{\rm{D}}} \right] \cap mp\left[ {MBC} \right]\]
nên \[mp\left[ {MBC} \right] \cap \left[ {SA{\rm{D}}} \right] = MN\]
mà \[MN//BC\left[ {N \in S{\rm{D}}} \right]\].
Như vậy BMNC là hình thang.
Mặt khác \[BC \bot \left[ {SAB} \right]\] nên \[BC \bot BM\].
Vậy BMNC là hình thang vuông.
Do đó thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp[MBC] nói chung là hình thang vuông.
Khi x = 0 thì thiết diện là hình chữ nhật ABCD, và khi x = 2a thì thiết diện là tam giác SBC.
Ta có
\[\eqalign{ & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left[ {BC + MN} \right].BM \cr & B{M^2} = {a^2} + {x^2} \cr} \]
hay \[BM = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \]
\[{{MN} \over {A{\rm{D}}}} = {{SM} \over {SA}} = {{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\], từ đó \[MN = b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\].
Từ đó
\[\eqalign{ & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left[ {b + b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}} \right].\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr & = {b \over {4{\rm{a}}}}\left[ {4{\rm{a}} - x} \right]\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr} \]
b] Do \[\left[ {BMNC} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\] nên khi kẻ SH vuông góc với đường thẳng \[BM\left[ {H \in BM} \right]\] thì \[SH \bot \left[ {BMNC} \right]\].
Khoảng cách từ S đến mp[BCM] là SH. Dễ thấy
\[SH.BM = 2{{\rm{S}}_{SBM}} = 2.{1 \over 2}a\left[ {2{\rm{a}} - x} \right]\]
Vậy \[SH = {{a\left[ {2{\rm{a}} - x} \right]} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]