Đề bài
Cho đường tròn [O] với đường kính AB cố định một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.
Lời giải chi tiết
Tam giác MPQ có QA là một đường cao [ vì \[QA \bot MP\]].
Kẻ \[MM' \bot PQ\] thì MM cắt QA tại trực tâm H của tam giác MPQ
OA là đường trung bình của tam giác NMH nên:
\[\overrightarrow {MH} = 2\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \]
Vậy phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow {BA} \] biến M thành H.
Chú ý rằng M không trùng với A hoặc B, ta suy ra quỹ H là ảnh của đường tròn [O] [không kể hai điểm A và B] qua phép tịnh tiến đó.
Làm tương tự đối với trực tâm H của tam giác NPQ.
Quỹ tích điểm H' là ảnh của đường tròn [O][không kể hai điểm A và B] qua phép tịnh tiếnT theo vecto \[\overrightarrow {BA} \].