Đề bài
Tìm a để tồn tại hàm số:
\[f\left[ x \right] = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2a + 3x\sin 2a\sin 6a\]
\[+ \sqrt {2a - 1 - {a^2}} \][a là hằng số]
Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của\[f'\left[ {{1 \over 2}} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta nhận thấy
\[2a - 1 - {a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left[ {a - 1} \right]^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 1\]
Vậy :
\[ \bullet \] Khi \[a \ne 1\] thì không tồn tại hàm số \[f\left[ x \right]\] với bất kì \[x \in R\], do đó không tồn tại \[f'\left[ {{1 \over 2}} \right].\]
\[ \bullet \] Khi \[a = 1\] thì tồn tại hàm số \[f\left[ x \right]\] xác định với mọi \[x \in R\] và
\[f\left[ x \right] = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\]
Ta có \[f'\left[ x \right] = 12{x^2} - 12\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\]
\[f'\left[ {{1 \over 2}} \right] = 3 - 6\cos 2 + 3\sin 2\sin 6\]
\[= 3\left[ {1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6} \right]\]
Vì \[{\pi \over 2} < 2 < \pi \] nên \[\cos 2 < 0\], suy ra
\[1 - 2\cos 2 > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Mặt khác \[\left| {\sin 2\sin 6} \right| \le 1,\] suy ra
\[\sin 2\sin 6 \ge - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra
\[1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6 > 0 \Leftrightarrow f'\left[ {{1 \over 2}} \right] > 0\]