Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol \[y = {x^2}\] lấy dãy các điểm \[[{A_n}]\] và \[[{B_n}]\] sao cho điểm \[{A_1}\] có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng \[{A_n}{B_n}\] có hệ số góc bằng \[ - {1 \over 5}\] và đường thẳng \[{B_n}{A_{n + 1}}\] có hệ số góc bằng \[{1 \over 4}.\] [h.3.2].
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \[{a_n}\] và \[{b_n}\] tương ứng với hoành độ của \[{A_n}\] và \[{B_n}\].
Chứng minh rằng các dãy số \[[{a_n}]\] và\[[{b_n}]\] là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Với mỗi \[n \ge 1,\] do \[{A_n}\] và \[{B_n}\] nằm trên parabol \[y = {x^2}\] nên \[{A_n} = \left[ {{a_n};a_n^2} \right]\] và \[{B_n} = \left[ {{b_n};b_n^2} \right]\]. Từ đó:
- Do đường thẳng \[{A_n}{B_n}\] có hệ số góc bằng \[- {1 \over 5}\] nên \[{a_n} + {b_n} = - {1 \over 5}\] với mọi \[n \ge 1;\]
- Do đường thẳng \[{B_n}{A_{n + 1}}\] có hệ số góc bằng \[{1 \over 4}\] nên \[{a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}\] với mọi \[n \ge 1;\]
Suy ra với mọi \[n \ge 1,\] ta có
\[{a_{n + 1}} - {a_n} = {9 \over {20}}\] và \[{b_{n + 1}} - {b_n} = - {9 \over {20}}.\]
Vì thế:
- Dãy số \[[{a_n}]\] là một cấp số cộng với số hạng đầu \[{a_1}\] và công sai \[d = {9 \over {20}};\]
- Dãy số \[[{b_n}]\] là một cấp số cộng với số hạng đầu \[{b_1} = - {1 \over 5} - {a_1}\] và công sai \[d = - {9 \over {20}}.\]
Số hạng tổng quát : \[{a_n} = {a_1} + \left[ {n - 1} \right] \times {9 \over {20}}\] và \[{b_n} = - {1 \over 5} - {a_1} - \left[ {n - 1} \right] \times {9 \over {20}}\].