Đề bài
Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi\[x \in R\]
\[y = {\cos ^2}\left[ {{\pi \over 3} - x} \right] + {\cos ^2}\left[ {{\pi \over 3} + x} \right] \]
\[+ {\cos ^2}\left[ {{{2\pi } \over 3} - x} \right] + {\cos ^2}\left[ {{{2\pi } \over 3} + x} \right] - 2{\sin ^2}x\]
Lời giải chi tiết
Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp
\[\left[ {{{\cos }^2}u} \right]' = 2\cos u\left[ { - \sin u} \right].u' = - u'.\sin 2u\]
Ta được
\[\eqalign{& y' = \left[ {\sin \left[ {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right] - \sin \left[ {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right]} \right]\cr& + \left[ {\sin \left[ {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right] - \sin \left[ {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right]} \right] - 2\sin 2x \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left[ { - 2x} \right] + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left[ { - 2x} \right] \cr&- 2\sin 2x\,\,\left[ {\forall x \in R} \right] \cr} \]
Vì \[\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} = - {1 \over 2}\] nên
\[y' = \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\]
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc
\[{\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}\]
Ta chứng minh được \[y = 1\]. Vậy \[y' = 0\]