Đề bài
Cho dãy số \[[{u_n}]\] với \[{u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},\] và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:
\[{S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.\]
Lời giải chi tiết
Với mỗi \[n \ge 1,\] ta có
\[{1 \over {{u_n} - 1}} = - {1 \over 2}\left[ {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right]\]
Do đó: \[{S_N} = - {1 \over 2}\left[ {{T_N} + N} \right],\] trong đó \[{T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}\]
Dễ thấy, \[{T_N}\] là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \[{2 \over 5}\] và công bội bằng \[{2 \over 5}\]. Vì thế
\[{T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left[ {{2 \over 5}} \right]}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}\]
Suy ra:
\[{S_N} = - {1 \over 2}\left[ {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right] \]\[= {{ - \left[ {2 + 3N} \right]{{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}\]