Đề bài
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, ta lấy điểm M với AM = x [0 < x < AD] và trên nửa đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng [ABCD] lấy điểm S sao cho AS = y.
a] Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [SAC].
b] Gọi I là trung điểm của SC và H là hình chiếu của I trên CM. Chứng minh rằng điểm H thuộc đường tròn cố định khi M chạy trên AD và S chạy trên At.
Lời giải chi tiết
a] Gọi O là giao điểm của AC và BD thì \[DB \bot \left[ {SAC} \right]\]. Kẻ MN song song với \[DB\left[ {N \in AC} \right]\] thì \[MN \bot \left[ {SAC} \right]\], do đó khoảng cách từ M đến mp[SAC] bằng MN. Dễ thấy:
\[MN = {{AM} \over {\sqrt 2 }} = {x \over {\sqrt 2 }}\].
b] Ta có IO // SA, do \[SA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] nên \[I{\rm{O}} \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\].
Do \[IH \bot MC\] nên \[HO \bot HC\] [định lí ba đường vuông góc]. Vậy \[\widehat {OHC} = {90^0}\], tức là H thuộc đường tròn đường kính OC nằm trong mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.