- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Cho Đ là phép đối xứng trục có trục đối xứng là đường thẳng d và T là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \] song song với d. Hợp thành Đ và T gọi là phép đối xứng trượt. Phép đối xứng trục là một trường hợp đặc biệt của phép đối xứng trượt khi vectơ trượt là vectơ không.
LG a
Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T.
Lời giải chi tiết:
Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M1và T biến M1thành M.
Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M.
Nếu ta lấy điểm M2sao cho MM1MM2là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M2và Đ biến M2thành M.
Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ.
LG b
Chứng minh rằng nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó.
Lời giải chi tiết:
Hiển nhiên
LG c
Hợp thành của hai phép đối xứng trượt có trục song song là phép gì?
Lời giải chi tiết:
Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \[\overrightarrow v \] , phép đối xứng trượt F có trục đối xứng d và véc tơ trượt \[\overrightarrow v '\] .
Kí hiệu Đ, Đ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d, T và T lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \] và \[\overrightarrow {v'} \] .
Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F là hợp thành của Đ và T.
Suy ra hợp thành của F và F là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ và T.
Vì d // d nên hợp thành của Đ và Đ là một phép tịnh tiến.
Vậy hợp thành F và F là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến.
LG d
Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt.
Lời giải chi tiết:
Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \] , còn F là hợp thành của Đ và T.
Ta có thể tìm được hai vectơ \[\overrightarrow {{v_1}} \] và \[\overrightarrow {{v_2}} \] sao cho \[\overrightarrow {{v_1}} \] song song với d, \[\overrightarrow {{v_2}} \] vuông góc với d và \[\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \] .
Nếu ta gọi T1và T2lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \[\overrightarrow {{v_1}} \] và \[\overrightarrow {{v_2}} \] thì T là hợp thành của T2và T1.
Nhưng vì \[\overrightarrow {{v_2}} \] vuông góc với d nên T2có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D1và D2có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ1, Đ2và T1.
Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ1, Đ2[có trục song song] là phép đối xứng của trục Đ3có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ3và T1với vectơ tịnh tiến của T1song song với trục đối xứng Đ3, nên F là phép đối xứng trượt.
LG e
Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.
Lời giải chi tiết:
Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ.
Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ1và Đ2có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ2song song với d.
Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ1, Đ2và Đ.
Nhưng hợp thành của Đ2và Đ [có trục đối xứng song song] là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d], F là phép đối xứng trượt.
LG g
Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.
Lời giải chi tiết:
Suy từ câu d và câu e].