Đề bài
a] Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp[ABC] và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b] Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp[ABC]. Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
\[\eqalign{ & D{H^2} = D{A^2} - A{H^2} \cr & = {a^2} - {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over 9} \cr & \Rightarrow DH = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \]
Do I là trung điểm của DH nên
\[IH = {{a\sqrt 6 } \over 6}\]
Khi đó: \[I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} = {\left[ {{{a\sqrt 6 } \over 6}} \right]^2} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right]^2} = {{{a^2}} \over 4}\],
tức là \[IM = {a \over 2}\].
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến \[IM = {1 \over 2}BC\]. Vậy \[IB \bot IC\].
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b] Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng [ABC] nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra \[{1 \over {I{H^2}}} = {1 \over {I{A^2}}} + {1 \over {I{B^2}}} + {1 \over {I{C^2}}} = {3 \over {I{A^2}}}\] hay \[IH = {{IA} \over {\sqrt 3 }}\].
Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:
\[DH = {{2IA} \over {\sqrt 3 }}\] và DA = DB = DC.
Đặt IA = x thì \[DH = {{2{\rm{x}}} \over {\sqrt 3 }},AB = x\sqrt 2 \].
Khi đó
\[\eqalign{ & D{A^2} = D{H^2} + H{A^2} = {{4{x^2}} \over 3} + {\left[ {{{x\sqrt 2 .\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} \cr & = {{4{{\rm{x}}^2}} \over 3} + {{2{{\rm{x}}^2}} \over 3} = 2{{\rm{x}}^2} \cr} \].
Vậy \[DA = DB = DC = x\sqrt 2 \].
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.