Đề bài
Cho hai nửa mặt phẳng [P] và [Q] vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên lấy hai điểm A, B cố định với \[AB = a\sqrt 2 \] [a là độ dài cho trước]. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với và ở trong [P] lấy điểm M khác A. Đặt AM = m. Trên nửa đường thẳng By vuông góc với và trong [Q] lấy điểm N sao cho \[BN = {{{a^2}} \over m}\].
a] Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
b] Với giá trị nào của m thì MN có độ dài bé nhất? Tính giá trị đó.
c] Chứng minh rằng chân mỗi đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[\left[ P \right] \bot \left[ Q \right],\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = AB,\]
\[M \in \left[ P \right],MA \bot AB\] nên \[MA \bot \left[ Q \right]\]. Do đó MAB, MAN là các tam giác vuông tại A.
Tương tự như trên, các tam giác MBN, ABN vuông tại B.
b] Vì
\[\eqalign{ & M{N^2} = M{A^2} + A{B^2} + B{N^2} \cr & = {m^2} + 2{a^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}} \cr} \]
Từ đó MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi \[{m^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}}\] bé nhất.
Mặt khác \[{m^2}.{{{a^4}} \over {{m^2}}} = {a^4}\].
Vậy MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:
\[{m^2} = {{{a^4}} \over {{m^2}}} \Leftrightarrow m = a\].
c] Vì \[\left[ {MAB} \right] \bot \left[ {NMB} \right]\] nên khi kẻ AA1vuông góc với BM tại A1thì \[A{A_1} \bot \left[ {BMN} \right]\], tức A1là chân đường cao của tứ diện ABMN kẻ từ đỉnh A.
Như vậy A1thuộc [P] và \[\widehat {B{A_1}A} = {90^0}\], từ đó A1thuộc đường tròn đường kính AB trong [P]. Đường tròn này cố định.
Tương tự như trên, chân đường cao B1kẻ từ đỉnh B của tứ diện ABMN cũng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng [Q].