Đề bài
Câu 1[3 điểm]. Cho hai hàm số bậc nhất
\[y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}\] và \[y = \dfrac{1}{2} - 2x\]
Hãy chọn đáp án đúng.
a] Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm có tọa độ là:
[A] \[\left[ {\dfrac{{20}}{9}\,;\, - \dfrac{{71}}{{18}}} \right]\] [B] \[\left[ {\dfrac{5}{{16}}\,;\, - \dfrac{1}{8}} \right]\]
[C] \[\left[ {\dfrac{5}{{16}}\,;\, - \dfrac{{29}}{{16}}} \right]\] [D] \[\left[ { - \dfrac{1}{8}\,;\,\dfrac{5}{{16}}} \right]\]
b] Góc tạo bởi đường thẳng \[y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}\] và trục Ox [làm tròn đến phút] là:
[A] 33o42 [B] 56o19
[C] 33o41 [D] 56o18
c] Góc tạo bởi đường thẳng \[y = \dfrac{1}{2} - 2x\] và trục Ox [làm tròn đến phút] là:
[A] 116o34 [B] 63o26
[C] 26o34 [D] 153o26
Câu 2 [4 điểm]
a] Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
\[\begin{array}{l}y = \dfrac{3}{4}x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\y = - 3x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
b] Tìm tọa độ giao điểm E của hai đường thẳng có phương trình [1] và [2]
Câu 3 [3 điểm].Cho hai hàm số bậc nhất
\[\begin{array}{l}y = \left[ {2k - 1} \right]x + \dfrac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\y = \left[ {3k + 1} \right]x + k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
a] Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng [1] và [2] cắt nhau ?
b] Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng [1] và [2] song song với nhau ?
c] Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng [1] và [2] cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 ? Hãy tìm tung độ của giao điểm đó.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp giải :
a] Muốn tìm hoành độ giao điểm của hai đường thẳng thì ta giải phương trình \[\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} - 2x\]
Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tính để tìm giá trị của tung độ giao điểm.
b] Muốn tìm góc tạo bởi đường thẳng cho trước và trục Ox :
- Xác định hệ số góc a và so sánh a với 0.
- Vận dụng kiến thức :
+ Khi a > 0, ta có \[\tan \alpha = a\]
+ Khi a < 0, ta có \[\tan \left[ {{{180}^o} - \alpha } \right] = \left| a \right|\] [với \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng đã cho và trục Ox].
Lời giải :
a] Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :
\[\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} - 2x\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x + 2x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{8}{3}x = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{{16}}\]
Với \[x = \dfrac{5}{{16}}\] thay vào hàm số \[y = \dfrac{1}{2} - 2x = \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{5}{{16}} = - \dfrac{1}{8}\]
Vậy giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là \[\left[ {\dfrac{5}{{16}}; - \dfrac{1}{8}} \right]\]
Chọn B.
b] Gọi \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng đã cho và Ox.
Ta có hệ số góc \[a = \dfrac{2}{3} > 0\] nên \[\tan \alpha = \dfrac{2}{3}\] \[ \Rightarrow \alpha \approx {33^o}41'\]
Chọn C.
c] Gọi \[\beta \] là góc giữa đường thẳng đã cho và Ox.
Ta có hệ số góc \[a = - 2 < 0\] nên \[\tan \left[ {{{180}^o} - \beta } \right] = \left| { - 2} \right|\] \[ \Rightarrow \beta \approx {116^o}34'\]
Chọn A.
Câu 2:
Phương pháp giải :
a] Cách vẽ đường thẳng \[y = ax + b\] [trường hợp \[a \ne 0\] và \[b \ne 0\]]
- Cho x = 0 thì \[y = b,\] được điểm P[0 ; b] thuộc trục tung Oy.
- Cho y = 0 thì \[x = - \dfrac{b}{a}\], được điểm \[Q\left[ { - \dfrac{b}{a};0} \right]\] thuộc trục hoành Ox.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q
b] Muốn tìm hoành độ giao điểm của hai đường thẳng thì ta giải phương trình \[\dfrac{3}{4}x + 3 = - 3x + 5\]
Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tính để tìm giá trị của tung độ giao điểm.
Cách giải :
a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = \dfrac{3}{4}x + 3\]
- Với \[x = 0\] thì \[y = 3\]
- Với \[y=0\] thì \[x = - 4\]
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {0;3} \right]\] và điểm \[B\left[ { - 4;0} \right]\]
Vẽ đồ thị hàm số \[y = - 3x + 5\]
- Với \[x = 0\] thì \[y = 5\]
- Với \[y = 0\] thì \[x = \dfrac{5}{3}\]
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \[C\left[ {0;5} \right]\] và \[D\left[ {\dfrac{5}{3};0} \right]\]
b] Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :
\[\dfrac{3}{4}x + 3 = - 3x + 5\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x + 3x = 2\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{4}x = 2\] \[ \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{{15}}\]
Với \[x = \dfrac{8}{{15}}\] thay vào hàm số \[y = - 3x + 5\] ta được :
\[y = - 3 \cdot \dfrac{8}{{15}} + 5 = - \dfrac{{24}}{{15}} + 5\]\[ = \dfrac{{51}}{{15}}\]
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \[K\left[ {\dfrac{8}{{15}};\dfrac{{51}}{{15}}} \right]\]
Câu 3:
Phương pháp giải :
Vận dụng kiến thức : Hai đường thẳng \[y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] và \[y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]\]
- Cắt nhau khi \[a \ne a'\]
- Song song với nhau khi \[a=a'\] và \[b \ne b'\]
- Trùng nhau khi \[a = a'\] và \[b = b'\]
Cách giải :
Để \[y = \left[ {2k - 1} \right]x + \dfrac{k}{2}\] là hàm số bậc nhất thì \[2k - 1 \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \dfrac{1}{2}\]
Để \[y = \left[ {3k + 1} \right]x + k\] là hàm số bậc nhất thì \[3k + 1 \ne 0\] \[ \Leftrightarrow k \ne - \dfrac{1}{3}\]
a] Hai đường thẳng [1] và [2] cắt nhau khi \[a \ne a'\] hay \[2k - 1 \ne 3k + 1\] \[ \Leftrightarrow k \ne - 2\]
Kết hợp với điều kiện về hàm bậc nhất, đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau khi \[k \ne \dfrac{1}{2};k \ne - \dfrac{1}{3}\] và \[k \ne - 2\].
b] Hai đường thẳng [1] và [2] song song với nhau khi
\[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 = 3k + 1\\\dfrac{k}{2} \ne k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 2\\k \ne 0\end{array} \right.\]
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho song song với nhau khi \[k = - 2\]
c] Hai đường thẳng [1] và [2] cắt nhau khi \[k \ne \dfrac{1}{2};k \ne - \dfrac{1}{3}\] và \[k \ne - 2\] [câu a].
Mà hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên \[x = 2\] là thỏa mãn phương trình giao điểm \[\left[ {2k - 1} \right]x + \dfrac{k}{2} = \left[ {3k + 1} \right]x + k\] [*]
Thay \[x = 2\] vào phương trình [*] ta có :
\[\left[ {2k - 1} \right].2 + \dfrac{k}{2} = \left[ {3k + 1} \right].2 + k\]
\[ \Leftrightarrow 4k - 2 + \dfrac{k}{2} = 6k + 2 + k\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}k = - 4 \Leftrightarrow k = - \dfrac{8}{5}\]
Thay \[k = - \dfrac{8}{5}\] , \[x = 2\] vào một trong hai hàm số thì tung độ giao điểm là :
\[y = \left[ {3.\left[ { - \dfrac{8}{5}} \right] + 1} \right].2 + \left[ { - \dfrac{8}{5}} \right] \]\[= - \dfrac{{46}}{5}\]
Vậy với \[k = - \dfrac{8}{5}\] thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \[2\] và tung độ là \[ - \dfrac{{46}}{5}\].