Giả sử \[x = \dfrac{a}{m}\]; \[y = \dfrac{b}{m}\]\[\left[ {a,\, b, \, m \in Z,\;m> 0} \right]\] và \[x < y.\] Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn \[z =\dfrac{a + b}{2m}\]thì ta có \[x < z < y.\]
Đề bài
Giả sử \[x = \dfrac{a}{m}\]; \[y = \dfrac{b}{m}\]\[\left[ {a,\, b, \, m \in Z,\;m> 0} \right]\] và \[x < y.\] Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn \[z =\dfrac{a + b}{2m}\]thì ta có \[x < z < y.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất: Nếu\[a,\;b,\;c \in Z\] và \[a 0} \right]\]
Vì \[x < y\] nên \[a < b.\]
Ta có : \[x =\dfrac{2a}{2m}\], \[y =\dfrac{2b}{2m}\];\[z =\dfrac{a + b}{2m}\]
\[a < b\] nên \[a + a < a +b\] hay \[ 2a < a + b.\]
Vì \[2a< a +b\] nên \[x < z \, \, \, \, [1]\]
\[a < b\] nên \[a + b < b + b \] hay \[ a + b < 2b.\]
Vì \[a+b < 2b\] nên \[z < y \, \, \, [2]\]
Từ [1] và [2] ta suy ra \[x < z < y.\]