Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], bán kính \[OM\]. Vẽ đường tròn tâm \[O\], đường kính \[OM\]. Một bán kính \[OA\] của đường tròn \[[O]\] cắt đường tròn \[[O]\] tại \[B\]. Chứng minh cung \[MA\] và cung \[MB\] có độ dài bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng tính chất: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn và số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
+ Sử dụng công thức tính độ dài cung \[l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\] với \[n^\circ \] là số đo cung và \[R\] là bán kính đường tròn.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[\widehat {MOA} = n^\circ \].
Ta có \[\widehat {MO'B}\] =sđ\[\overparen{MB}\]và \[\widehat {MOB} = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{MB}\] [1] [vì góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung \[MB\]]
Mà \[\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = \] sđ\[\overparen{AM}\] [2]
Từ [1] và [2] ta có : sđ\[\overparen{MB}\] = 2 . sđ\[\overparen{AM}\]\[ = 2n^\circ .\]
Theo công thức tính độ dài cung ta có \[{l_{MA}} = \dfrac{{\pi .OM.n}}{{180}}\] và \[{l_{MB}} = \dfrac{{\pi .O'M.2n}}{{180}}= \dfrac{{\pi .2O'M.n}}{{180}}\]
Theo giả thiết \[OM = 2O'M.\] Vậy các cung \[MA\] và \[MB\] có độ dàibằng nhau.