- Câu 19
- Câu 20
Câu 19
Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy. Khi đó tỉ số \[\dfrac{R}{r}\] bằng:
[A] \[1 + \sqrt 2 \] [B] \[2 + \sqrt 2 \]
[C] \[\sqrt 2 - 1\] [D] \[\sqrt 2 - 2\]
Phương pháp giải:
+ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền và suy ra bán kính \[R.\]
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác và suy ra bán kính \[r.\]
+ Sử dụng định lý Pytago và tính chất đường phân giác trong tam giác để biến đổi.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A.\] Gọi \[D\] là trung điểm \[BC\] và \[E\] là giao điểm đường phân giác \[\widehat {ACB}\] và \[AD.\]
Khi đó \[DA = DB = DC\left[ { = \dfrac{1}{2}BC} \right]\] nên \[D\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và bán kính của nó là \[R = AD\]
Vì \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AD\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên \[E\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] và bán kính của nó là \[r = DE.\]
Xét tam giác \[CAD\] có \[CE\] là phân giác góc \[ACD\] nên \[\dfrac{{ED}}{{EA}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\] [tính chất đường phân giác]
Suy ra \[\dfrac{{ED}}{{ED + EA}} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{AD}} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\] [1]
Xét tam giác \[ABC\], theo định lý Pytago ta có \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}\]\[ = \sqrt {A{C^2} + A{C^2}} = \sqrt {2A{C^2}} \]\[ = AC\sqrt 2 \] [vì \[AB = AC]\] nên \[DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}\] suy ra \[\dfrac{{DC}}{{DC + CA}} = \dfrac{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2} + AC}}\]\[ = \dfrac{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{AC\sqrt 2 + 2AC}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{2}}}\]\[ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\dfrac{r}{R} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} = \sqrt 2 + 1\]
Chọn A.
Câu 20
Chọn từ thích hợp điền vào chỗ trống trong câu sau:
Trong đa giác đều, tâm..trùng với tâm..và được gọi là tâm
Phương pháp giải:
Ta sử dụng: Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Lời giải chi tiết:
Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm đa giác đều.