Đề bài
Cho đường tròn [O] và hai điểm \[A, B\] nằm bên ngoài đường tròn. Dựng đường kính \[COD\] sao cho \[AC = BD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Các bước dựng hình:
+ Dựng điểm \[A'\] đối xứng với \[A\] qua \[O.\]
+ Dựng đường trung trực d của \[A'B\], cắt [O] tại \[D\].
+ Dựng đường kính \[COD\].
Lời giải chi tiết
*Cách dựng
Dựng \[A'\] đối xứng với \[A\] qua tâm \[O\] của đường tròn.
Dựng đường thẳng \[d\] là đường trung trực của \[AB.\]
Gọi giao điểm của đường thẳng\[d\] và đường tròn [O] là \[D.\]
Dựng đường kính \[COD.\]
*Chứng minh
Ta có: \[OA = OA\] [do A và A' đối xứng nhau qua O] và \[OD = OC\] [do C, D cùng thuộc đường tròn [O]]
Suy ra tứ giác \[ACAD\] là hình bình hành [vì có hai đường chéo AA' và CD giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường]
Suy ra: \[AC = AD\] [tính chất hình bình hành]
Lại có: \[AD = DB\] [tính chất đường trung trực]
Suy ra: \[AC = BD.\]