- LG câu a
- LG câu b
LG câu a
Chứng minh:
\[x + 2\sqrt {2x - 4} = {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]^2}\] với \[x \ge 2\];
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\[VP = {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]^2}\] [với \[x \ge 2\]]
\[ = {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\]\[ + {\left[ {\sqrt {x - 2} } \right]^2}\]
\[= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \]
\[ x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left[ {x - 2} \right]} =VT\]
\[=>VP=VT[đpcm]\]
Cách 2:
Ta có:
\[VT= x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left[ {x - 2} \right]} \]
\[= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \]
\[ = {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\]\[ + {\left[ {\sqrt {x - 2} } \right]^2}\]
\[ = {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]^2}\] [với \[x \ge 2\]]=VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
LG câu b
Rút gọn biểu thức:
\[\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \] với \[x \ge 2\].
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
\[{[a - b]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
Ta có: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Với\[A \ge 0\] thì ta có\[\left| A \right| = A\]
Với\[A < 0\] thì ta có\[\left| A \right| = -A\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \]
\[ = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2}\]\[ + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} \]
\[ = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right]}^2}}\]\[ + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} }\right]}^2}} \]
\[ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
\[ = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
+] Nếu \[\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0\] thì
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \]
Với \[2 \le x \le 4\] thì\[\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \]
Ta có:\[ \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
\[=\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \]
+] Nếu \[\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0\] thì
\[\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\]
Với \[x > 4\] thì \[\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \]
Ta có:\[ \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\]
\[=\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2\]\[ = 2\sqrt {x - 2} \]