Đề bài
Cho hình thang với đáy nhỏ là \[15cm\], hai cạnh bên bằng nhau và bằng \[25cm\], góc tù bằng \[120^\circ \].Tính chu vi và diện tích của hình thang đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh bao quanh của hình đó.
- Diện tích hình thang bằng đáy lớn cộng đáy bé [cùng đơn vị đo] chia 2 rồi nhân với chiều cao.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình thang \[ABCD\] có đáy nhỏ \[AB = 15cm\], cạnh bên \[AD = BC \]\[=25cm\], \[\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = 120^\circ \].
Kẻ \[AH \bot CD,BK \bot CD\]
Ta có: \[AB//HK\] và \[AH//BK\] [cùng vuông với CD] nên \[ABKH\] là hình bình hành.
Suy ra: \[HK=AB =15 [cm]\] và \[AH=BK\]
Vì AB//CD nên \[\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^\circ \] [hai góc trong cùng phía]
Suy ra:
\[\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 120^\circ\]\[ = 60^\circ \]
Trong tam giác vuông \[ADH\], ta có:
\[\eqalign{
& DH = AD.\cos \widehat {ADC} \cr
& = 25.\cos 60^\circ = 12,5\,[cm] \cr} \]
\[\eqalign{
& AH = AD.\sin \widehat {ADC} \cr
& = 25.\sin 60^\circ = {{25\sqrt 3 } \over 2}[cm] \cr} \]
Ta có: \[AH=BK\] [cmt] và \[AD=BC\] [gt] nên hai tam giác vuông \[ADH=BCK\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra: \[ CK =DH= 12,5 [cm]\]
Ta có: \[CD=CK + KH + HD\]\[=12,5 + 15 + 12,5=40cm\]
Chu vi hình thang \[ABCD\] là:
\[AB + BC + CD + DA \]
\[= 15 + 25 + 40 + 25\]
\[ = 105 [cm]\]
Diện tích hình thang \[ABCD\] là:
\[\eqalign{
& {S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.AH \cr
& = {{15 + 40} \over 2}.{{25\sqrt 2 } \over 2} \approx 595,392\,\,\left[ {c{m^2}} \right] \cr} \]