Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền chứa điểm nào trong các điểm sau

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.

 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình

,

Nghiệm của các bất phương trình dạng

cũng được định nghĩa tương tự.

 Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.

b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình  , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình .

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình

, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng (d):

 

Bước 2. Xét một điểm

 không nằm trên (d).

·         Nếu

 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình

.

·         Nếu

 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình

.

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng

 hoặc

 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

• Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.
• Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 1:          Câu nào sau đây sai?.

Miền nghiệm của bất phương trình

 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                        C.

.                      D.

.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

.

Dễ thấy tại điểm

 ta có:

.

Câu 2:          Câu nào sau đây đúng?.

Miền nghiệm của bất phương trình

 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                    C.

.                    D.

.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Dễ thấy tại điểm

 ta có:

.

Câu 3:          Câu nào sau đây sai?.

Miền nghiệm của bất phương trình

 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A.

.                    B.

.                  C.

.                  D.

.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

.

Dễ thấy tại điểm

 ta có:

 (mâu thuẩn).

Câu 4:          Câu nào sau đây đúng?.

Miền nghiệm của bất phương trình

 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                        C.

.                     D.

.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

.

Dễ thấy tại điểm

 ta có:

 (đúng).

Câu 5:          Câu nào sau đây đúng?.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 là phần mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                      C.

.                        D.

.

Lời giải

Chọn A.

Nhận xét: chỉ có điểm

 thỏa mãn hệ.

Câu 6:          Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

?

A.

.                       B.

.                    C.

.                      D.

.

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét : chỉ có điểm

 không thỏa mãn hệ.

Câu 7:          Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

?

A.

.                         B.

.                       C.

.                    D.

.

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét: chỉ có điểm

 thỏa mãn hệ.

Câu 8:          Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 là phần mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                      C.

.                     D.

.

Lời giải

Chọn A.

Nhận xét: chỉ có điểm

 thỏa mãn hệ.

Câu 9:          Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 là phần mặt phẳng chứa điểm

A.

.                         B.

.                       C.

.                       D.

.

Lời giải

ChọnD.

Nhận xét: chỉ có cặp số

 thỏa bất phương trình

.

Câu 10:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là phần mặt phẳng chứa điểm nào?

A.

.                         B.

.                       C.

.                        D.

.

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét: chỉ có cặp số

 thỏa bất phương trình.

Câu 11:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào?

A.

.                       B.

.                       C.

.                    D.

.

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét: chỉ có cặp số

 không thỏa bất phương trình.

Câu 12:      Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình

?

A.

.                       B.

.                    C.

.                       D.

.

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét: chỉ có cặp số

 không thỏa bất phương trình.

Câu 13:      Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình

?

A.

.                       B.

.                     C.

.                     D.

.

Lời giải

ChọnB.

Ta thay cặp số

 vào bất phương trình

được

(sai) đo dó cặp số

 không là nghiệm của bất phương trình

.

Câu 14:      Miền nghiệm của bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

.                    B.

.                  C.

.                D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

 không chứa điểm

Câu 15:      Miền nghiệm của bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

.                B.

.

C.

.                  D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành

Ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) không chứa điểm

Câu 16:      Miền nghiệm của bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

                      B.

.                  C.

.                   D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) không chứa điểm

Câu 17:      Miền nghiệm của bất phương trình

  chứa điểm nào sau đây?

A.

.                  B.

.             C.

.                D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

 không chứa điểm

Câu 18:      Miền nghiệm của bất phương trình

 chứa điểm nào sau đây?

A.

                     B.

                  C.

                 D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành

Vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) không chứa điểm

Câu 19:      Miền nghiệm của bất phương trình

 chứa điểm nào sau đây?

A.

                     B.

.                  C.

.           D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ

 chứa điểm

Câu 20:      Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình

 là

A.

.                         B.

.                        C.

.                     D.

.

Lời giải

ChọnC.

Ta thay cặp số

vào hệ ta thấy không thỏa mãn.

Câu 21:      Cho bất phương trình

có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A.

.                    B.

.               C.

.               D.

.

Lời giải

ChọnC.

Ta thấy

 thỏa mãn hệ phương trình do đó

là một cặp nghiệm của hệ phương trình.

Câu 22:      Cho bất phương trình

có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

.                  B.

.                 C.

.              D.

.

Lời giải

Chọn A.

Ta thấy

vì

.

Câu 23:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là

A.

                B.

C.

                    D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ

 chứa điểm

Câu 24:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là

A.

                B.

C.

                    D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) không chứa điểm

Câu 25:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là

A.

                B.

C.

                    D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) không chứa điểm

Câu 26:      Miền nghiệm của bất phương trình

 là

A.

                B.

C.

                    D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

Ta thấy

 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

) chứa điểm

Câu 27:      Cho bất phương trình

có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

.                    B.

.           C.

.               D.

.

Lời giải

ChọnB.

Ta thấy

vì

.

Câu 28:      Cho hệ bất phương trình

có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

.                    B.

.            C.

.             D.

.

Lời giải

ChọnC.

Ta thấy

 vì

.

Câu 29:      Cho hệ bất phương trình

 có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

.                 B.

.            C.

.           D.

.

Lời giải

ChọnC.

Ta thấy

vì

.

Câu 30:      Cho hệ bất phương trình

 có tập nghiệm là

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

.                B.

.             C.

.            D.

.

Lời giải

ChọnD.

Ta thấy

 vì

.

Câu 31:       Cho hệ bất phương trình

 có tập nghiệm

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A.

.                 B.

.                 C.

.              D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình.

Câu 32:      Cho hệ bất phương trình

có tập nghiệm

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A.

.

B.

.

C.Biểu diễn hình học của

 là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ

, với

 là là đường thẳng

.

D.Biểu diễn hình học của

 là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ

, với

 là là đường thẳng

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

Thử trực tiếp ta thấy

 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng

Câu 33:      Cho hệ

. Gọi

 là tập nghiệm của bất phương trình (1),

 là tập nghiệm của bất phương trình (2) và

 là tập nghiệm của hệ thì

A.

.                      B.

.                    C.

.                    D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

    

    

Ta thấy

 là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 34:      Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?

A.

.             B.

.         C.

.           D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng

 và đường thẳng

Miền nghiệm gồm phần

 nhận giá trị dương.

Lại có

 thỏa mãn bất phương trình

Câu 35:      Miền tam giác

 kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bết phương trình nào trong bốn bệ A, B, C, D ?

A.

.            B.

.          C.

.         D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:

    

    

    

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị

 dương (kể cả bờ

).

Lại có

 là nghiệm của cả hai bất phương trình

 và

Câu 36:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 chứa điểm nào sau đây?

A.

.                    B.

.               C.

.               D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

       

       

       

Ta thấy

 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 37:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

  chứa điểm nào sau đây?

A.

                     B.

.                  C.

.                D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm

 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 38:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 chứa điểm nào sau đây?

A.Không có.                    B.

                 C.

                 D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

Ta thấy

 là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.

Câu 39:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 chứa điểm nào sau đây?

A.

.                     B.

.                  C.

.                  D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 40:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

                  B.

                  C.

.               D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 41:     

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

.                  B.

                 

C.

                   D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 42:      Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

                     B.

                  C.

                  D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 43:     

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

 không chứa điểm nào sau đây?

A.

                    B.

               

C.

                 D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 44:      Giá trị nhỏ nhất của biết thức

 trên miền xác định bởi hệ

 là.

A.

 khi

.                              B.

 khi

.

C.

 khi

.                              D.

 khi

.

Lời giải

Chọn A.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình

 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức

 chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm

 hoặc

.

Ta có:

.

Vậy

 khi

.

Câu 45:      Giá trị nhỏ nhất của biết thức

 trên miền xác định bởi hệ

 là

A.

 khi

.                          B.

 khi

.

C.

 khi

.                       D.

 khi

.

Lời giải

Chọn C.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình

 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của biết thức

 chỉ đạt được tại các điểm

.

Ta có:

.

Vậy

 khi

.

Câu 46:      Cho hệ bất phương trình

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A.Trên mặt phẳng tọa độ

, biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền tứ giác

 kể cả các cạnh với

,

,

 và

.

B.Đường thẳng

 có giao điểm với tứ giác

 kể cả khi

.

C.Giá trị lớn nhất của biểu thức

 , với

 và

 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là

.

D.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 , với

 và

 thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

    

    

    

    

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

Câu 47:      Giá trị lớn nhất của biết thức

 với điều kiện

 là

A.

.                               B.

.                             C.

.                           D.

.

Lời giải

Chọn C.

Vẽ đường thẳng

, đường thẳng

 qua hai điểm

 và

.

Vẽ đường thẳng

, đường thẳng

 qua hai điểm

 và

.

Vẽ đường thẳng

.

Miền nghiệm là ngũ giác

 với

.

Ta có:

,

,

,

,

.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức

 bằng

.

Câu 48:      Giá trị nhỏ nhất của biết thức

 với điều kiện

 là

A.

.                           B.

.                           C.

.                           D.

.

Lời giải

Chọn A.

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình

 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:.

Nhận thấy biết thức

 chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm

 hoặc

.

Ta có:

.

.

Vậy

 khi

.

Câu 49:      Biểu thức

 đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện

tại điểm

 có toạ độ là

A.

.                         B.

.                       C.

.                       D.

.

Lời giải

Chọn A.

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình

 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức

 chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm

 hoặc

.

Chỉ

 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.

Vậy

 khi

.

Câu 50:      Biểu thức

, với

 và

 thõa mãn hệ bất phương trình

, đạt giá trị lớn nhất là

 và đạt giá trị nhỏ nhất là

. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A.

và

.       B.

và

.     C.

và

.          D.

 và

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

Ta thấy

 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).

Miền nghiệm là hình tam giác

 (kể cả biên), với

Vậy ta có