Đề bài
Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.
a. \[\displaystyle {{5x + 3} \over {x - 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} - 4}}\]
b. \[\displaystyle {{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. \[\displaystyle {{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. \[\displaystyle {{2{x^2} - 5x + 3} \over {{x^2} + 3x - 4}} = {{2{x^2} - x - 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai phân thức\[ \dfrac{A}{B}\]và\[ \dfrac{C}{D}\]gọi là bằng nhau nếu \[AD = BC\].
Lời giải chi tiết
a. Xét: \[\left[ {5x + 3} \right]\left[ {{x^2} - 4} \right] \]\[\,= 5{x^3} - 20x + 3{x^2} - 12\] [1]
Xét: \[\left[ {x - 2} \right]\left[ {5{x^2} + 13x + 6} \right]\]\[\, = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x - 10{x^2} - 26x-12 \]\[\,= 5{x^3} - 20x + 3{x^2} - 12\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra đẳng thức đúng.
b. Xét: \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right]\]\[\, = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 \]\[\,= {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\]
Xét: \[\left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right] \]\[\,= {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9\]
Suy ra: \[ \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right] \ne \]\[\,\left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right]\]
Đẳng thức sai
\[\displaystyle {{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\].
Ta có: \[ [x+1].[x^2+6x +9]\]
\[=[x+1].[x+3]^2\]
\[=[x+3].[x+1].[x+3]\]
\[=[x+3][x^2+4x+3]\]
Ta có thể sửa lại là: \[\displaystyle {{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. Xét: \[\left[ {{x^2} - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] \]\[\,= {x^3} + {x^2} - 2x - 2\]
Xét: \[\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x + 2} \right] \]\[\,= {x^3} + 2{x^2} - x - 2\]
Suy ra \[\left[ {{x^2} - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] \ne \left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\]
Đẳng thức sai
\[\displaystyle {{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} \ne {{x + 2} \over {x + 1}}\].
Ta có: \[[x^2 -1].[x+2]\]
\[=[x+1][x-1].[x+2]\]
\[=[x+1].[x+x-2]\]
Ta có thể sửa lại là: \[\displaystyle {{{x^2} + x - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. Xét: \[\left[ {2{x^2} - 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right]\]
\[ = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} - 5{x^3} \]\[\,- 25{x^2} - 20x + 3{x^2} + 15x + 12\]
\[ = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12\]
Xét: \[\left[ {{x^2} + 3x - 4} \right]\left[ {2{x^2} - x - 3} \right] \]
\[= 2{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 6{x^3} - 3{x^2} - 9x \]\[\,- 8{x^2} + 4x + 12 \]
\[ = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \]
Suy ra \[ \left[ {2{x^2} - 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right]\]\[\, = \left[ {{x^2} + 3x - 4} \right]\left[ {2{x^2} - x - 3} \right] \]
Nên đẳng thức đã cho đúng.
Ta có thể có nhiều đẳng thức sửa lại, chỉ cần thỏa mãn A.D=B.C thì \[\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\]