Đề bài
Câu 1:Cho hình thang \[ABCD [AB//CD].\] Các khẳng định sau đúng hay sai?
a] Nếu \[\widehat{A}+\widehat{D}={{180}^{o}}\] thì \[ABCD\] là hình thang cân.
b] Nếu \[\widehat{B}+\widehat{D}={{180}^{o}}\] thì \[ABCD\] là hình thang cân.
Câu 2:Hình vuông có đường chéo bằng \[\sqrt {18} \] thì cạnh bằng
[A] \[2\] [B] \[3\]
[C] \[6\] [D] \[\sqrt 3 \]
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Câu 3:Xét các tam giác vuông \[ABC\] có cạnh huyền \[BC\] cố định, \[BC = 4 cm\], \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Tập hợp các điểm \[A\] là
[A] Đường tròn \[[B;2cm]\]
[B] Đường tròn \[[C;2cm]\]
[C] Đường tròn \[[I;2cm]\]
[D] Đường tròn \[[I;4cm]\]
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Câu 4:Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A, M\] là trung điểm của \[BC.\] Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[AB,\] gọi \[D\] là giao điểm của \[MI\] và \[AB.\] Gọi \[K\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[AC,\] gọi \[E\] là giao điểm của \[MK\] và \[AC.\]
a] Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?
b] Tứ giác \[AMCK\] là hình gì? Vì sao?
c] Chứng minh hai điểm \[I\] và \[K\] đối xứng với nhau qua điểm \[A.\]
d] Nếu tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] thì các tứ giác \[ADME, AMCK\] là hình gì? Vì sao? Vẽ hình tương ứng.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng:
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc trong cùng phía bù nhau.
- Hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải:
Vì \[AB//CD\] nên \[\widehat{A}+\widehat{D}={{180}^{o}}\] [1] [hai góc trong cùng phía].
\[\widehat{B}+\widehat{D}={{180}^{o}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat{A}=\widehat{B}\] nên ABCD là hình thang cân.
Do đó a] sai; b] đúng.
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng:
- Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, bốn góc bằng nhau.
- Định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Lời giải:
Gọi cạnh hình vuông là \[a\] \[[a>0]\].
Áp dụng định lí Pytago vào \[\Delta ADC\] vuông tại \[D\] ta có:
\[\begin{align}& A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}} \\& {{a}^{2}}+{{a}^{2}}={{\left[ \sqrt{18} \right]}^{2}} \\& 2{{a}^{2}}=18 \\& \Rightarrow {{a}^{2}}=18:2=9 \\ & \Rightarrow a=\sqrt{9}=3 \\\end{align}\]
Chọn B.
Câu 3:
Phương pháp:
Sử dụng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải:
\[AI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\] nên \[AI=BC:2=4:2=2cm\]
\[I\] là trung điểm của \[BC\], mà \[BC\] cố định nên \[I\] cố định. Do đó tập hợp các điểm \[A\] là đường tròn \[[I;2cm]\].
Chọn C.
Câu 4:
Phương pháp:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi.
- Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải:
a] \[I\] đối xứng \[M\] qua \[AB\] nên \[AB\] là trung trực của \[MI.\] Do đó \[\widehat {ADM} = {90^o}\]
\[K\] đối xứng \[M\] qua \[AC\] nên \[AC\] là trung trực của \[MK.\] Do đó \[\widehat {AEM} = {90^o}\]
Tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = \widehat {DAE} = {90^o}\] nên là hình chữ nhật[ Tứ giác có 3 góc vuông].
b] \[AM\] là trung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\] của \[\Delta ABC\] nên \[AM=MC\]
Xét hai tam giác vuông \[AME\] và \[CME\] có:
\[AM=MC\] [chứng minh trên]
\[ME\] chung
\[\widehat{AEM}=\widehat{CEM}={{90}^{o}}\]
\[ \Rightarrow \Delta AME = \Delta CME\] [cạnh huyền cạnh góc vuông].
\[\Rightarrow AE=CE\] [hai cạnh tương ứng].
Tứ giác \[AMCK\] có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.
c] \[AMCK\] là hình thoi nên \[AK=MC; AK//BC\] [1]
Chứng minh tương tự ta được: \[AMBI\] là hình thoi
Suy ra \[AI=BM; AI//BM\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AK=AI.\]
Qua \[A\] có hai đường thẳng cùng song song với \[BC\] nên theo tiên đề Ơclit \[I, A,K\] thẳng hàng.
Do đó \[I\] và \[K\] đối xứng với nhau qua điểm \[A.\]
d] Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] thì \[AD=AE\] nên \[ADME\] là hình vuông[ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau];
\[AE = ME \Rightarrow AC = MK\] do đó \[AMCK\] là hình vuông [ Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau].
Hình vẽ tương ứng: