Đề bài
Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a] Chứng minh hai mặt phẳng [ABD] và [BCD] song song:
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng \[\left[ {AB'D'} \right],\left[ {BC'D} \right]\] và suy ra điều kiện song song.
b] Sử dụng tính chất \[d\left[ {\left[ P \right],\left[ Q \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ Q \right]} \right]\] và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng \[d\left[ {M,\left[ Q \right]} \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A[0; 0; 0] , B[1;0; 0] , D[0; 1; 0]
B[1; 0 ; 1] , D[0; 1; 1] , C [1; 1; 1]
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left[ {1;0;1} \right],\overrightarrow {AD'} = \left[ {0;1;1} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left[ { - 1; - 1;1} \right]\end{array}\]
Mặt phẳng \[\left[ {AB'D'} \right]\] đi qua \[A\left[ {0;0;0} \right]\] và nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left[ { - 1; - 1;1} \right]\] làm VTPT nên
\[\left[ {AB'D'} \right]:\]\[ - \left[ {x - 0} \right] - \left[ {y - 0} \right] + \left[ {z - 0} \right] = 0\] hay \[x + y - z = 0\]
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'} = \left[ {0;1;1} \right],\overrightarrow {DC'} = \left[ {1;0;1} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left[ {1;1; - 1} \right]\end{array}\]
Mặt phẳng \[\left[ {BC'D} \right]\] đi qua \[B\left[ {1;0;0} \right]\] và nhận \[\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left[ {1;1; - 1} \right]\] làm VTPT nên
\[\left[ {BC'D} \right]:\]\[\left[ {x - 1} \right] + \left[ {y - 0} \right] - \left[ {z - 0} \right] = 0\] hay \[x + y - z - 1 = 0\]
Ta có: \[\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\].
Vậy [ABD] // [BCD]
b] \[d[[AB'D'],[BC'D]]\]\[ = d[A,[BC'D]] = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \] \[= \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\]