- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\displaystyle {9^x} - {3^x} - 6 = 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {9^x} - {3^x} - 6 = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {3^{2x}} - {3^x} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {{3^x}} \right]^2} - {3^x} - 6 = 0
\end{array}\]
Đặt \[\displaystyle t = {3^x} > 0\] ta được: \[\displaystyle {t^2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\left[ {TM} \right]\\t = - 2\left[ {KTM} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[\displaystyle {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\].
LG b
\[\displaystyle {e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}} \right]^2} - 3{e^x} - 4 + 12.\frac{1}{{{e^x}}} = 0\]
Đặt \[\displaystyle t = {e^x}[t > 0]\], ta có phương trình \[\displaystyle {t^2} - 3t - 4 + \frac{{12}}{t} = 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0\]\[\displaystyle \Leftrightarrow [t - 2][t + 2][t - 3] = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 2[l]\\t = 3\end{array} \right.\]
Do đó \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{e^x} = 2\\{e^x} = 3\end{array} \right.\] hay \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x = \ln 2\\x = \ln 3\end{array} \right.\]
LG c
\[\displaystyle {3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho một biểu thức mũ, biến đổi phương trình về dạng \[\displaystyle {a^{f\left[ x \right]}} = {a^m} \Leftrightarrow f\left[ x \right] = m\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow {3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^x}{.9^2} = {6.4^x}.4 - \frac{1}{2}{.9^x}.9\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {3.4^x} + {27.9^x} = {24.4^x} - \frac{9}{2}{.9^x}\] \[ \Leftrightarrow {27.9^x} + \frac{9}{2}{.9^x} = {24.4^x} - {3.4^x}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{63}}{2}{.9^x} = {21.4^x}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {63.9^x} = {42.4^x}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{{9^x}}}{{{4^x}}} = \frac{{42}}{{63}}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {\left[ {\frac{9}{4}} \right]^x} = \frac{2}{3}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {\left[ {\frac{3}{2}} \right]^{2x}} = {\left[ {\frac{3}{2}} \right]^{ - 1}}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\]
LG d
\[\displaystyle {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho một biểu thức mũ, biến đổi phương trình về dạng \[\displaystyle {a^{f\left[ x \right]}} = {a^m} \Leftrightarrow f\left[ x \right] = m\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{{x^2}}} - {3^{{x^2}}} = \frac{1}{3}{.3^{{x^2}}} - {4.2^{{x^2}}}\] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{{x^2}}} + {4.2^{{x^2}}} = \frac{1}{3}{.3^{{x^2}}} + {3^{{x^2}}}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.2^{{x^2}}} = \frac{4}{3}{.3^{{x^2}}} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {27.2^{{x^2}}} = {8.3^{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^2}}}}}{{{3^{{x^2}}}}} = \frac{8}{{27}}
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^{{x^2}}} = {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^3}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x = - \sqrt 3 \end{array} \right.\]