Đề bài
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\[{1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\]
Lời giải chi tiết
+] Với \[n = 2\] ta có : \[{1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\]
Như vậy [1] đúng khi \[n = 2\]
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k > 2\], tức là giả sử
\[{1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng khi \[n = k + 1\], nghĩa là ta sẽ chứng minh
\[{1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} > {{13} \over {24}}\]
Thật vậy , ta có:
\[\eqalign{
& {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} - {1 \over {k + 1}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left[ {k + 1} \right] + 2k + 1 - 2\left[ {2k + 1} \right]} \over {2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]}} \cr
& > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \]
[theo giả thiết quy nạp]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi số nguyên \[n > 1\].