- LG a
- LG b
Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho [chính xác đến hàng phần trăm]:
LG a
\[y = {\log _3}\left[ {\sin x} \right]\] tại \[x = {\pi \over 4}\,;\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\left[ {{{\log }_a}u} \right]' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = \frac{{\left[ {\sin x} \right]'}}{{\sin x\ln 3}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x\ln 3}}\]
\[ = {{\cos x} \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 3}} = {{\cot x} \over {\ln 3}}\]
\[y'\left[ {{\pi \over 4}} \right] = \frac{{\cot \frac{\pi }{4}}}{{\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}}\approx 0,91\]
LG b
\[y = {{{2^x}} \over {{x^2}}}\] tại \[x = 1\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \[\left[ {\frac{u}{v}} \right]' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\]
Công thức đạo hàm hàm mũ \[\left[ {{a^u}} \right]' = u'{a^u}\ln a\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}} \right]' = \frac{{\left[ {{2^x}} \right]'{x^2} - {2^x}.\left[ {{x^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{x^2}} \right]}^2}}}\\
= \frac{{{2^x}\ln 2.{x^2} - {2^x}.2x}}{{{x^4}}}\\
= \frac{{x{{.2}^x}\left[ {x\ln 2 - 2} \right]}}{{{x^4}}}\\
= \frac{{{2^x}\left[ {x\ln 2 - 2} \right]}}{{{x^3}}}\\
y'\left[ 1 \right] = \frac{{{2^1}.\left[ {1.\ln 2 - 2} \right]}}{{{1^3}}}\\
= 2\left[ {\ln 2 - 2} \right] \approx - 2,61
\end{array}\]