Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn [O] và một điểm M thay đổi trên [O]. Gọi M1là điểm đối xứng với M qua A, M2là điểm đối xứng với M1qua B, M3là điểm đối xứng với M2qua C
a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M3là một phép đối xứng tâm
b. Tìm quỹ tích điểm M3
Lời giải chi tiết
a. Gọi I là trung điểm của MM3, ta chứng minh I là điểm cố định
Thật vậy, ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \]
Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M3là phép đối xứng qua điểm I
b. Quỹ tích điểm M3là đường tròn [O], ảnh của đường tròn [O] qua phép đối xứng tâm với tâm I