Đề bài
Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B [h.16]. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'.Chứng minh GOG' là tam giác vuông cân.
Lời giải chi tiết
Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay \[{\pi \over 2}\] [bằng góc lượng giác [OA ; OB]].
Khi đó Q:
+] biến O thành O
+] biến A thành B
+] biến A thành B
Tức là Q biến tam giác OAA và OBB
Bởi vậy Q biến G [trọng tâm tam giác OAA] thành G [trọng tâm tam giác OBB].
Suy ra \[OG = OG\] và \[\widehat {GOG'} = {\pi \over 2}\]
Vậy GOG là tam giác vuông cân tại đỉnh O
Chú ý: Phép quay Q biến trọng tâm G tam giác ABC thành trọng tâm G của tam giác ABC ảnh của ABC qua Q được suy ra từ phép quay Q biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm đoạn thẳng.
Nghĩa là do phép quay Q biến AA' thành BB' thì biến trung điểm M của AA' thành trung điểm N của BB'.
Do đó Q biến OM thành ON. Khi đó Q biến G [thuộc OM] thành G' [thuộc ON] và \[OG' = OG = \frac{2}{3}OM = \frac{2}{3}ON\].
Vậy Q biến G thành G' là trọng tâm tam giác OBB'.