Đề bài
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số \[k\] biến tứ diện \[ABCD\] thành tứ diện \[ABCD\]a thì \[{{{V_{A'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {\left| k \right|^3}\]
Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu của A trên [BCD].
Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A, B, C, D, H.
Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì:
AH song song hoặc trùng với AH;
Và [BCD] song song hoặc trùng với [BCD]
Mà AH [BCD] nên A'H'[B'C'D'].
Vậy AH là đường cao của tứ diện [ABCD] [1]
Mặt khác, dễ thấy: \[\widehat {CBD} = \widehat {C'B'D'} = \varphi \] [2]
Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có:
\[\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \left| k \right|\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{\frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}B'C'.B'D'\sin \varphi }}{{\frac{1}{2}BC.BD\sin \varphi }}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = \frac{{B'C'}}{{BC}}.\frac{{B'D'}}{{BD}}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = {\left| k \right|^3}\end{array}\]