- LG a
- LG b
- LG c
Giải các phương trình sau :
LG a
\[\sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x + {1 \over 2}\left[ {1 - \cos 2x} \right] = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x - {1 \over 2}\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2x = \alpha + k\pi \,\text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2},\,k \in\mathbb Z \cr} \]
LG b
\[2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[x = {\pi \over 2} + k\pi \] không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho \[{\cos ^2}x\] ta được :
\[\eqalign{& 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right] \cr & \left[ {\text{ với }\,\tan \alpha = - {1 \over 2}} \right] \cr} \]
LG c
\[{\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}{x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr} \]
Với \[x\] mà \[\cos {x \over 2} = 0\] không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho \[{\cos ^2}{x \over 2}\] ta được :
\[\eqalign{& {\tan ^2}{x \over 2} + 2\tan {x \over 2} - 2 = {1 \over 2}\left[ {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right] \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}{x \over 2} + 4\tan {x \over 2} - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan {x \over 2} = 1} \cr {\tan {x \over 2} = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {{x \over 2} = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left[ {\text{ với }\,\tan \alpha = - 5} \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = 2\alpha + k2\pi } \cr} } \right.\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right] \cr} \]