- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[y' = {3 \over {{{[x + 1]}^2}}}>0\,\,\forall x\in D\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ - \infty ; - 1]\] và \[[ - 1; + \infty ]\]
Hàm số không có cực trị
Giới hạn
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\]
Tiệm cận đứng \[y=2\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \]
Tiệm cận đứng: \[x=-1\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \[Ox\] tại điểm \[\left[ {{1 \over 2};0} \right]\]
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;-1]\]
Đồ thị hàm số nhận điểm I[-1;2] làm tâm đối xứng.
LG b
Với các giá trị nào của \[m\], đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\] đi qua điểm \[A[-2;2]\] và có hệ số góc \[m\] cắt đồ thị của hàm số đã cho:
Tại hai điểm phân biệt?
Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\]qua điểm \[A[-2;2]\] có hệ số góc \[m\] là:
\[y - 2 = m\left[ {x + 2} \right]\] hay \[y = mx + 2m + 2\]
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\]và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:
\[\eqalign{
& mx + 2m + 2 = {{2x - 1} \over {x + 1}} \cr
& \Rightarrow \left[ {mx + 2m + 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = 2x - 1\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr
& \Leftrightarrow m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\]cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \[[2]\] có hai nghiệm phân biệt khác \[-1\], tức là
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta > 0\\
f\left[ { - 1} \right] \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
9{m^2} - 4m\left[ {2m + 3} \right] > 0\\
m.{\left[ { - 1} \right]^2} + 3m.\left[ { - 1} \right] + 2m + 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 12m > 0\\
3 \ne 0\left[ {\text{đúng}} \right]
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.[*]
\end{array}\]
Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng \[x = -1\] của đồ thị.
\[\Leftrightarrow\] Đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\] cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó
\[\Leftrightarrow\] [1] có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1} < - 1 < {x_2}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\cr&\Leftrightarrow \left[ {{x_1} + 1} \right]\left[ {{x_2} + 1} \right] < 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \cr&\Leftrightarrow {{2m + 3} \over m} - {{3m} \over m} + 1 < 0 [\text{ Vi-et }]\cr
& \Leftrightarrow {3 \over m} < 0 \cr} \]
Kết hợp với [*] được \[m < 0\]
Vậy với \[m < 0\] thì \[\left[ {{d_m}} \right]\]cắt [C] tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.
Cách khác:
\[\Leftrightarrow\][1] có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1} < - 1 < {x_2}\]
af[-1]