- LG a
- LG b
Chứng minh:
LG a
\[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[4 \pm 2\sqrt 3 \]
\[= {\left[ {\sqrt 3 } \right]^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 \]
\[= {\left[ {\sqrt 3 \pm 1} \right]^2}\]
nên
\[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \]
\[\begin{array}{l}
= \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}^2}} - \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} \\
= \left| {\sqrt 3 + 1} \right| - \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\
= \left[ {\sqrt 3 + 1} \right] - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]\\
= 2
\end{array}\]
LG b
\[\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\]
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức\[{\left[ {A + B} \right]^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left[ {A + B} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \]
Ta có \[{x^3} = {\left[ {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right]^3}\]
\[ = 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} \] \[+ 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \]\[.\left[ {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right] \]
\[ = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\].
Do đó: \[{x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left[ * \right]\]
Mà \[{x^3} - 3x - 18\] \[ = \left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 6} \right]\]nên [*]\[ \Leftrightarrow \]x=3
[vì \[{x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\]]
Vậy \[\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\]