Đề bài
Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc \[a = 3t + {t^2}\,\left[ {m/{s^2}} \right]\]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lí thuyết:\[S'\left[ t \right] = v\left[ t \right],v'\left[ t \right] = a\left[ t \right]\] hay \[v\left[ t \right] = \int {a\left[ t \right]dt} ,S\left[ t \right] = \int {v\left[ t \right]dt} \].
Lời giải chi tiết
Gọi v[t] là vận tốc của vật. ta có: \[v'\left[ t \right] = a\left[ t \right] = 3t + {t^2}\]
\[v\left[ t \right] = \int {a\left[ t \right]dt} = \int {\left[ {3t + {t^2}} \right]dt} \] \[ = 3.\dfrac{{{t^2}}}{2} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + C\]
\[v\left[ 0 \right] = 10\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{{0^3}}}{3} + \dfrac{{{{3.0}^2}}}{2} + C = 10 \Leftrightarrow C = 10\]
\[ \Rightarrow v\left[ t \right] = \dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 10\]
Quãng đường vật đi được là:
\[ S= \int\limits_0^{10} {v\left[ t \right]dt} \] \[ = \int\limits_0^{10} {\left[ {\dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 10} \right]dt} \] \[ = \left. {\left[ {\dfrac{{{t^4}}}{{12}} + \dfrac{{{t^3}}}{2} + 10t} \right]} \right|_0^{10}\]
\[ = \left[ {\dfrac{{{{10}^4}}}{{12}} + \dfrac{{{{10}^3}}}{2} + 10.10} \right]\]\[ - \left[ {\dfrac{{{0^4}}}{{12}} + \dfrac{{{0^3}}}{2} + 10.0} \right]\] \[ = \dfrac{{4300}}{3}\]