Đề bài
Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là \[a\] và \[b.\] Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
-Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Xét hình chóp cụt đều \[ABCD.ABCD\] như hình vẽ.
Gọi \[M, M\] thứ tự là trung điểm của \[BC, BC.\] Khi đó \[MM\] là đường cao của hình thang cân \[BCCB\].
Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:
\[\displaystyle{S_{xq}} = 4.{{a + b} \over 2}.MM' \]\[\,= \left[ {2a + 2b} \right].MM'\]
Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy ta có:
\[\left[ {2a + 2b} \right].MM' = {a^2} + {b^2}\]
hay \[ \displaystyle MM' = {{{a^2} + {b^2}} \over {2\left[ {a + b} \right]}}\] [1]
Dễ thấy \[OM // OM\] nên \[OM\] và \[OM\] xác định mặt phẳng \[[OMMO]\].
Vì OM là đường trung bình của tam giác ABC nên \[OM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\]
Vì \[O'M'\] là đường trung bình của tam giác \[A'B'C'\] nên \[O'M'=\dfrac{A'B'}{2}=\dfrac{b}{2}\]
Trong mặt phẳng \[[OMMO]\], kẻ \[MH OM\].
Khi đó \[OMHO'\] là hình chữ nhật nên \[O'H=OM=\dfrac{a}{2},\]\[MH=OO'=h\]
Suy ra \[HM = OM - OH = \displaystyle {{b - a} \over 2}\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[MHM \], ta có:
\[MM{'^2} = M{H^2} + HM{'^2} \]\[\,\displaystyle = {h^2} + {\left[ {{{b - a} \over 2}} \right]^2}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\begin{array}{l}
{h^2} + {\left[ {\dfrac{{b - a}}{2}} \right]^2} = \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}\\
\Rightarrow {h^2} = \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}} - \dfrac{{{{\left[ {b - a} \right]}^2}}}{4}\\
= \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2} - {{\left[ {b - a} \right]}^2}.{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2} - {{\left[ {\left[ {b - a} \right].\left[ {a + b} \right]} \right]}^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2} - {{\left[ {{b^2} - {a^2}} \right]}^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}\\= \dfrac{{\left[ {{a^2} + {b^2} + {a^2} - {b^2}} \right]\left[ {{a^2} + {b^2} - {a^2} + {b^2}} \right]}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{2{a^2}.2{b^2}}}{{4{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}
\end{array}\]
Vậy \[\displaystyle h = {{ab} \over {a + b}}\].