Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \[\Delta :x - y + 2 = 0\] và điểm A[2;0].
a] Chứng mình rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng \[\Delta \].
b] Tìm điểm M trên \[\Delta \] sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Thay tọa độc các điểm \[A,O\] vào phương trình của \[\Delta \], kiểm tra tích của chúng.
Nếu tích tìm được nhỏ hơn \[0\] thì hai điểm nằm khác phía so với \[\Delta \].
Nếu tích tìm được lớn hơn \[0\] thì hai điểm nằm cùng phía so với \[\Delta \].
b] Sử dụng phương pháp hình học đánh giá GTNN của \[OM + MA\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\Delta \left[ O \right] = 2 > 0\], \[\Delta \left[ A \right] = 2 + 2 > 0\].
Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với \[\Delta \].
b] Gọi \[O'\] là điểm đối xứng củaOqua \[\Delta \] , ta có:
\[OM + MA = O'M + MA \ge O'A\]
Ta có : OM + MA ngắn nhất
\[ \Leftrightarrow O',M,A\] thẳng hàng.
Xét đường thẳng d đi qua O và vuông góc với \[\Delta \].
Ta có: \[\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left[ {1; - 1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \left[ {1;1} \right]\] là VTPT của \[d\].
Mà \[d\] đi qua \[O\left[ {0;0} \right]\] nên \[d:1\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + y = 0\].
d cắt \[\Delta \] tại H
\[ \Leftrightarrow \] tọa độ \[H\] thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H\left[ { - 1;1} \right]\].
H là trung điểm của \[OO'\], suy ra
\[\left\{ \begin{array}{l}
- 1 = \dfrac{{0 + {x_{O'}}}}{2}\\
1 = \dfrac{{0 + {y_{O'}}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{O'}} = - 2\\
{y_{O'}} = 2
\end{array} \right.\]
Do đó \[O'\left[ { - 2;2} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {O'A} = \left[ {4; - 2} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_{OA'}}} = \left[ {1;2} \right]\] là VTPT của \[O'A\].
Mà \[O'A\] đi qua \[A\left[ {2;0} \right]\] nên \[O'A:1\left[ {x - 2} \right] + 2\left[ {y - 0} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\]
\[M = O'A \cap \Delta \] nên tọa độ \[M\] thỏa mãn
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x - y = - 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3} \\y =\dfrac{4}{3} \end{array} \right.\]
Vậy \[M = \left[ { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right].\]