- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
LG a
\[2m[x - 2] + 4 = [3 - {m^2}]x\] ;
Phương pháp giải:
\[{b_1}\]: Đưa phương trình về dạng \[{\rm{ax}} + b = 0\]
\[{b_2}\]: Biện luận: Nếu a khác 0 thì phuong trình có một nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}\]
Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu \[a = 0\]và \[b = 0\] thì phương trình có vô sô nghiệm
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 2mx - 4m + 4 - \left[ {3 - {m^2}} \right]x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {2m - 3 + {m^2}} \right]x = 4m - 4\\
\Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 2m - 3} \right]x = 4\left[ {m - 1} \right]
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow [m - 1][m + 3]x = 4[m - 1]\,\,[1] \].
Nếu\[m \ne 1\] và \[m \ne - 3\] thì [1]\[\Leftrightarrow\] \[x = \frac{{4\left[ {m - 1} \right]}}{{\left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 3} \right]}} = \frac{4}{{m + 3}}\]
Nếu m=1 thì [1] là 0x=0 [đúng] nên pt vô số nghiệm.
Nếu m=-3 thì [1] là 0x=-16 [vô lí] nên pt vô nghiệm.
Vậy,
Với \[m \ne 1\] và \[m \ne - 3\] phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{4}{{m + 3}}\];
Với \[m = 1\] mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với \[m = - 3\] phương trình vô nghiệm.
LG b
\[\dfrac{{[m + 3]x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[2x - 1 \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{2}\]
Khi đó ta có
\[\dfrac{{[m + 3]x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\] \[ \Leftrightarrow [m + 3]x = [3m + 2][2x - 1]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {m + 3} \right]x = 2\left[ {3m + 2} \right]x - \left[ {3m + 2} \right]\\
\Leftrightarrow 2\left[ {3m + 2} \right]x - \left[ {m + 3} \right]x = 3m + 2\\
\Leftrightarrow \left[ {6m + 4 - m - 3} \right]x = 3m + 2
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow [5m + 1]x = 3m + 2\].
Nếu \[m \ne - \dfrac{1}{5}\]thì phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\].
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\[\dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}} \ne \dfrac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1\] \[ \Leftrightarrow m \ne - 3\]
Nếu \[m = - \dfrac{1}{5}\]phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận.
Với \[m = - \dfrac{1}{5}\]hoặc \[m = - 3\] phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \[m \ne - \dfrac{1}{5}\]và \[m \ne - 3\]nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\].
LG c
\[\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = [4m + 1]x + 1\];
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[x + 3 \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne - 3\]. Khi đó ta có:
\[\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = [4m + 1]x + 1\] \[ \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}[4m + 1]x + 1][x + 3]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8mx = \left[ {4m + 1} \right]{x^2} + 3\left[ {4m + 1} \right]x + x + 3\\
\Leftrightarrow \left[ {4m + 1} \right]{x^2} + \left[ {3\left[ {4m + 1} \right] + 1 - 8m} \right]x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {4m + 1} \right]{x^2} + \left[ {4m + 4} \right]x + 3 = 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow [4m + 1]{x^2} + 4[m + 1]x + 3 = 0.[1]\]
Với \[m = - \dfrac{1}{4}\]phương trình [1] trở thành
\[3x + 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = -1\]
Với \[m \ne - \dfrac{1}{4}\] phương trình [1] là một phương trình bậc hai có
\[{\Delta '} = 4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 3\left[ {4m + 1} \right] \] \[= 4\left[ {{m^2} + 2m + 1} \right] - 12m - 3 \] \[= 4{m^2} - 4m + 1= {[2m - 1]^2} \ge 0\].
Lúc đó phương trình [1] có hai nghiệm
\[{x_1} = - \dfrac{3}{{4m + 1}},{x_2} = - 1\].
Ta có \[ - \dfrac{3}{{4m + 1}} \ne - 3\] \[ \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\]
Kết luận
Với \[m = 0\] hoặc \[m = - \dfrac{1}{4}\]phương trình đã cho có một nghiệm \[x = - 1\]
Với \[m \ne 0\]và \[m \ne - \dfrac{1}{4}\]phương trình đã cho có hai nghiệm
\[x = - 1\] và \[x = - \dfrac{3}{{4m + 1}}\].
LG d
\[\dfrac{{[2 - m]x}}{{x - 2}} = [m - 1]x - 1\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \[x \ne 2\].
Khi đó ta có \[\dfrac{{[2 - m]x}}{{x - 2}} = [m - 1]x - 1\] \[ \Leftrightarrow [2 - m]x = [x - 2]{\rm{[}}[m - 1]x - 1]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {2 - m} \right]x = \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x - x + 2\\
\Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x - x - \left[ {2 - m} \right]x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - \left[ {2m - 2 + 1 + 2 - m} \right]x + 2 = 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow [m - 1]{x^2} - [m + 1]x + 2 = 0[2]\]
Với \[m = 1\] phương trình [2] có dạng
\[ - 2x + 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow x = 1\]
Với \[m \ne 1\] thì phương trình [2] là một phương trình bậc hai có:
\[\Delta= {\left[ {m + 1} \right]^2} - 8\left[ {m - 1} \right] \] \[= {m^2} + 2m + 1 - 8m + 8 \] \[= {m^2} - 6m + 9\] \[= {[m - 3]^2} \ge 0\].
Lúc đó phương trình [2] có hai nghiệm
\[{x_1} = 1,{x_2} = \dfrac{2}{{m - 1}}\].
Ta có \[\dfrac{2}{{m - 1}} \ne 2\] \[ \Leftrightarrow m - 1 \ne 1\] \[ \Leftrightarrow m \ne 2\]
Kết luận:
Với \[m = 1\] và \[m = 2\] phương trình đã cho có một nghiệm là \[x = 1\].
Với \[m \ne 1\]và \[m \ne 2\]phương trình đã cho có hai nghiệm
\[x = 1\] và \[x = \dfrac{2}{{m - 1}}\]