Đề bài
Cho tam giác ABC có A[-2;3] và hai đường trung tuyến: \[2x - y + 1 = 0\] và \[x + y - 4 = 0\] . Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nhận xét: Hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì tọa độ A không thỏa mãn các phương trình của chúng.
- Gọi tọa độ \[B\left[ {x;y} \right]\], tìm tọa độ trung điểm \[N\] của \[AB\].
- Lập hệ phương trình ẩn \[x,y\], giải hệ suy ra đáp số.
Lời giải chi tiết
Đặt \[BM:2x - y + 1 = 0\] và \[CN:x + y - 4 = 0\] là hai trung tuyến của tam giác ABC.
Đặt \[B\left[ {x;y} \right]\], ta có \[N\left[ {\dfrac{{x - 2}}{2};\dfrac{{y + 3}}{2}} \right]\] và \[\left\{ \begin{array}{l}B \in BM\\N \in CN\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\\dfrac{{x - 2}}{2} + \dfrac{{y + 3}}{2} - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x + y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là : \[2x - 4y + 16 = 0\]\[ \Leftrightarrow x - 2y + 8 = 0\].
Tương tự ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là : \[2x + 5y - 11 = 0\].
Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là : \[4x + y - 13 = 0\].