Đề bài
Chứng tỏ rằng, trong một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức tam giác :Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
Gọi \[a\,,\; b\,, \;c \] lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi tam giác là \[a + b + c.\]
Nên nửa chu vi tam giác là: \[\dfrac{a+b+c}{2}\]
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có :
\[a < b + c \]
\[\Leftrightarrow a + a < a + b + c\]
\[\Leftrightarrow 2a < a + b + c \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow a < {{a + b + c} \over 2}\]
Tương tự:
\[\eqalign{ & b < a + c\cr&\Leftrightarrow b + b < a + b + c \cr&\Leftrightarrow 2b < a + b + c\cr&\Leftrightarrow b < {{a + b + c} \over 2} \cr & c < a + b\cr&\Leftrightarrow c + c < a + b + c \cr&\Leftrightarrow 2c < a + b + c\cr&\Leftrightarrow c < {{a + b + c} \over 2} \cr} \]
Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.