Đề bài
Cho đường tròn [O] và đường thẳng [d] ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d. Từ A kẻ cát tuyến ABC với đường tròn [B nằm giữa A và C]. Hai tiếp tuyến Bx và Cy cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AE = AD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh tứ giác OAEC và OBAD là tứ giác nội tiếp.
+] Chứng minh \[\widehat {OEC} = \widehat {ODB}.\]
+] Chứng minh \[{\Delta _v}OCE = {\Delta _v}OBD \Rightarrow OE = OD\].
+] Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là trung tuyến.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác OAEC có: \[\widehat {OAE} + \widehat {OCE} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \]Tứ giác OAEC là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800]
\[ \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {OAC}\] [1] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC]
Xét tứ giác OBAD có: \[\widehat {OBD} = \widehat {OAD} = {90^0} \Rightarrow \] Hai điểm A, B cùng nhìn OD dưới góc 900\[ \Rightarrow A;B\] thuộc đường tròn đường kính OD \[ \Rightarrow \] Tứ giác OBAD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {ODB} = \widehat {OAC}\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {ODB}.\]
Xét \[{\Delta }OCE\] và \[{\Delta }OBD\] có \[OC = OB = R;\,\,\widehat {OCE} = \widehat {ODB}\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow {\Delta }OCE = {\Delta }OBD\] [cạnh góc vuông góc nhọn]
\[ \Rightarrow OE = OD\] [2 cạnh tương ứng] \[ \Rightarrow \Delta OED\] cân tại O
\[ \Rightarrow \] Đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến \[AE = AD\] [đpcm].