Đề bài
Cho hai điểm \[A, B\] thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \[xy\] [\[AB\] không vuông góc với \[xy\]]. Gọi \[A\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[xy,\] \[C\] là giao điểm của \[AB\] và \[xy.\] Gọi \[M\] là điểm bất kì khác \[C\] thuộc đường thẳng \[xy.\] Chứng minh rằng \[AC + CB < AM + MB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \[d\] nếu \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
Vì \[A\] đối xứng với \[A\] qua \[xy\]
\[ xy\] là đường trung trực của \[AA\]
\[ CA = CA\] [tính chất đường trung trực]
\[MA = MA\] [tính chất đường trung trực]
\[AC + CB = AC + CB = AB\;\; [1]\]
\[MA + MB = MA + MB \;\; [2]\]
Trong \[ MAB\] ta có:
\[AB < AM + MB\] [bất đẳng thức tam giác] \[[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[AC + CB < AM + MB\]