Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính AB. Từ điểm M khác điểm A trên tiếp tuyến với đường tròn tại A, ta vẽ cát tuyến MCD [C nằm giữa M và D]. Vẽ tiếp tuyến MI tiếp xúc với [O] tại I. Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM tại E và F. Chứng minh:
a] MICE là tứ giác nội tiếp.
b] O là trung điểm của EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tứ giác MICE có tổng hai góc đối bằng 1800.
b] Gọi G là giao điểm của AF và đường tròn \[\left[ O \right]\], chứng minh BC//AG và O là trung điểm của CG. Áp dụng định lí Ta-lét.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[OA = OI = R \Rightarrow O\] thuộc trung trực của AI.
\[MA = MI\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau] \[ \Rightarrow \] M thuộc trung trực của AI.
\[ \Rightarrow OM\] là trung trực của AI \[ \Rightarrow OM \bot AI\].
Ta có: \[\widehat {AIB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow IB \bot AI\]
\[ \Rightarrow OM//IB \Rightarrow \widehat {IBC} = \widehat {CEO}\] [hai góc so le trong bằng nhau].
Lại có \[\widehat {IBC} = \widehat {CIM}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung IC]
\[ \Rightarrow \widehat {CEO} = \widehat {CIM}\]\[\left[ { = \widehat {IBC}} \right]\].
Mà \[\widehat {CEO} + \widehat {CEM} = {180^0}\] [hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {CIM} + \widehat {CEM} = {180^0} \Rightarrow \]Tứ giác MICE là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800].
b] Gọi G là giao điểm của AF và đường tròn \[\left[ O \right]\]. Xét tứ giác ACBG nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[\widehat {ABC} = \widehat {AGC}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC].
Mà tam giác OAG cân tại O [do \[OA = OG\]] \[ \Rightarrow \widehat {AGC} = \widehat {OAG} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {OAG}\].
Ta có: \[\widehat {ACB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại C \[ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat {OAG} + \widehat {BAC} = {90^0} \]
\[\Rightarrow \widehat {CAG} = {90^0} \] \[\Rightarrow AG \bot AC\]. Mà \[AC \bot BC\,\,\left[ {\widehat {ACB} = {{90}^0}} \right] \Rightarrow AG//BC\].
Và \[\widehat {CAG}\] nội tiếp chắn nửa đường tròn \[ \Rightarrow O\] là trung điểm của CG \[ \Rightarrow OC = OG\]
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OC}}{{OG}} = 1 \Rightarrow OE = OF\]. Vậy O là trung điểm của EF.