- Bài 4.4
- Bài 4.5
- Bài 4.6
Bài 4.4
Trong tam giác \[ABC,\] hai đường trung tuyến \[\displaystyle {\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]và \[\displaystyle B{B_1}\] cắt nhau tại điểm \[O.\] Hãy tính diện tích tam giác \[ABC\] nếu diện tích tam giác \[ABO\] bằng \[\displaystyle 5c{m^2}\].
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle \dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác \[\displaystyle ABC\] có hai đường trung tuyến\[\displaystyle {\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]và \[\displaystyle B{B_1}\] cắt nhau tại điểm \[\displaystyle O\] nên \[\displaystyle O\] là trọng tâm tam giác \[\displaystyle ABC,\] suy ra\[\displaystyle {\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}.\]
Ta có:
\[\displaystyle {S_{AOB}} = {2 \over 3}{S_{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}B}}\][vì có cùng chiều cao hạ từ \[\displaystyle B\] và \[\displaystyle {\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]]
Suy ra\[\displaystyle {S_{AA_1B}} = {2 \over 3}{S_{AOB}}\]
Lại có \[\displaystyle {{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\][vì có cùng chiều cao hạ từ \[\displaystyle A\] và \[\displaystyle B{A_1} = {1 \over 2}BC\]] ;
Từ đó suy ra \[\displaystyle {{\rm{S}}_{ABC}} = 2{{\rm{S}}_{AB{A_1}}}\]\[\displaystyle =2.\dfrac{3}{2}{{\rm{S}}_{AOB}}= 3{{\rm{S}}_{AOB}}\]
Nếu \[\displaystyle {{\rm{S}}_{AOB}} = 5c{m^2}\]thì \[\displaystyle {S_{ABC}} = 3.5 = 15\left[ {c{m^2}} \right]\]
Bài 4.5
Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng [đôi một] bằng nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle \dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác \[ABC\] có ba đường trung tuyến \[AA_1, BB_1, CC_1\] cắt nhau tại trọng tâm \[G.\]
Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Tương tự bài 4.4 ta có:
+] Vì tam giác \[\displaystyle ABC\] có \[\displaystyle G\] là trọng tâm tam giác \[\displaystyle ABC,\] suy ra\[\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}.\]
Ta có:
\[\displaystyle {S_{AGB}} = {2 \over 3}{S_{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}B}}\][vì có cùng chiều cao hạ từ \[\displaystyle B\] và \[\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]]
Suy ra\[\displaystyle {S_{AA_1B}} = {2 \over 3}{S_{AGB}}\]
Lại có \[\displaystyle {{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\][vì có cùng chiều cao hạ từ \[\displaystyle A\] và \[\displaystyle B{A_1} = {1 \over 2}BC\]] ;
Từ đó suy ra \[\displaystyle {{\rm{S}}_{ABC}} = 2{{\rm{S}}_{AB{A_1}}}\]\[\displaystyle =2.\dfrac{3}{2}{{\rm{S}}_{AGB}}= 3{{\rm{S}}_{AGB}}\] nên \[{{\rm{S}}_{AGB}}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\] [1]
+] Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \[CG = \dfrac{2}{3}C{C_1}\]
Ta có: \[{S_{BGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{BC{C_1}}}\] [vì có cùng chiều cao kẻ từ B đến \[C{C_1}\] và cạnh đáy \[CG = \dfrac{2}{3}C{C_1}\]]
Mà \[{S_{BC{C_1}}} = \dfrac{1}{2}{S_{BAC}}\] [vì có cùng chiều cao kẻ từ C đến AB và cạnh đáy \[B{C_1} = \dfrac{1}{2}AB\]]
Suy ra \[{S_{BGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{BC{C_1}}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\], hay \[{S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\] [2]
Ta có: \[{S_{AGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{AC{C_1}}}\] [vì có cùng chiều cao kẻ từ A đến \[C{C_1}\] và cạnh đáy \[CG = \dfrac{2}{3}C{C_1}\]]
Mà \[{S_{AC{C_1}}} = \dfrac{1}{2}{S_{BAC}}\] [vì có cùng chiều cao kẻ từ C đến AB và cạnh đáy \[A{C_1} = \dfrac{1}{2}AB\]]
Suy ra \[{S_{AGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{AC{C_1}}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\], hay \[{S_{GAC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\displaystyle {S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GCA}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}\]
Ta lại có \[{{\rm{S}}_1} = {S_2},{S_3} = {S_4},{S_5} = {S_6}\][vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau]
Vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.
Bài 4.6
Cho tam giác \[\displaystyle ABC\] với đường trung tuyến \[\displaystyle D.\] Trên tia \[\displaystyle AD\] lấy điểm \[\displaystyle E\] sao cho \[\displaystyle AD = DE,\] trên tia \[\displaystyle BC\] lấy điểm \[\displaystyle M\] sao cho \[\displaystyle BC = CM.\]
a]Tìm trọng tâm của tam giác \[\displaystyle AEM.\]
b]So sánh các cạnh của tam giác \[\displaystyle ABC\] với các đường trung tuyến của tam giác \[\displaystyle AEM\]
c] So sánh các đường trung tuyến của tam giác \[\displaystyle ABC\] với các cạnh của tam giác \[\displaystyle AEM.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle \displaystyle \dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a] Do \[\displaystyle AD = DE\] nên \[\displaystyle MD\] là một đường trung tuyến của tam giác \[\displaystyle AEM.\]
Hơn nữa do \[\displaystyle C{\rm{D}} = {1 \over 2}CB = {1 \over 2}CM\]
Nên\[\displaystyle M{\rm{D}} =CD+CM= {1 \over 2}CM+CM = {3 \over 2}CM\]
Suy ra \[\displaystyle MC=\dfrac{2}{3}MD\]
Nên \[\displaystyle C\] là trọng tâm của tam giác \[\displaystyle AEM.\]
b] Các đường thẳng \[\displaystyle AC, EC\] lần lượt cắt \[\displaystyle EM, AM\] tại \[\displaystyle F, I.\] Tam giác \[\displaystyle AEM\] có các đường trung tuyến là \[\displaystyle AF, EI, MD.\]
Xét \[ADB\] và \[ EDC\] có:
+] \[BD=DC\] [vì AD làđường trung tuyến của tam giác \[\displaystyle ABC]\]
+] \[\widehat{BDA}=\widehat{CDE}\] [hai góc đối đỉnh]
+] \[AD=DE\] [gt]
Ta có \[\displaystyle ADB = EDC\] [c.g.c] nên \[\displaystyle AB = EC\]
Mà \[C\]là trọng tâm của tam giác \[\displaystyle AEM\] [câu a]nên \[\displaystyle AC = {2 \over 3}{\rm{AF;BC = CM = }}{2 \over 3}{\rm{MD}};\]\[\displaystyle AB = EC = {2 \over 3}EI\]
c] Trước tiên, theo giả thiết, ta có \[\displaystyle AD = DE\] nên \[\displaystyle A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E}}\]
Gọi \[\displaystyle BP, CQ\] là các trung tuyến của \[\displaystyle ABC.\]
Lại có: \[\displaystyle BCP = MCF\] [c-g-c] [do \[ CP=CF=\dfrac {1}{2}AC, BC=CM, \] \[\displaystyle \widehat {PCB}=\widehat {FCM}\] [đối đỉnh]]
\[\displaystyle \Rightarrow BP = FM = {1 \over 2}EM\].
Ta sẽ chứng minh \[\displaystyle CQ = {1 \over 2}AM\]
Ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& \Delta AB{\rm{D}} = \Delta EC{\rm{D}} [c-g-c]\cr
&\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CED} \cr
& \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}} \cr} \]
Hai tam giác \[\displaystyle ACQ\] và \[\displaystyle CAI\] có cạnh \[\displaystyle AC\] chung, \[\displaystyle \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}}\];
\[\displaystyle AQ = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}EC = IC\]nên chúng bằng nhau.
Vậy \[\displaystyle CQ = AI = {1 \over 2}AM\].
Tóm lại: \[\displaystyle A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E,BP = }}{1 \over 2}{\rm{EM, }}\]\[\displaystyle CQ={1 \over 2}{\rm{AM}}.\]