Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây \[AB, AC\] bằng nhau. Qua \[A\] vẽ một cát tuyến cắt dây \[BC\] ở \[D\] và cắt đường tròn \[[O]\] ở \[E.\] Chứng minh rằng \[A{B^2} = AD.AE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+] Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[AB = AC\;\; [gt]\]
Nên \[\overparen{AB} = \overparen{AC}\] [hai dây bằng nhau căng \[2\] cung bằng nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AEB}\] [\[2\] góc nội tiếp chắn \[2\] cung bằng nhau]
Xét \[ABD\] và \[ABE:\]
+] \[\widehat A\] chung
+] \[\widehat {ABD}=\widehat {ABC} = \widehat {AEB}\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[ABD\] đồng dạng \[AEB\] [g-g]
\[\Rightarrow \displaystyle{{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AD}}\]\[ \Rightarrow {\rm A}{{\rm B}^2} = AD.AE\].