- LG a
- LG b
Chứng minh các bất đẳng thức sau [\[n \in N*\]]
LG a
\[{2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Với \[n = 1\] thì \[{2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5.\]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k \ge 1,\] tức là \[{2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{ }}\left[ 1 \right]\]
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \[n = k + 1,\] tức là \[{2^{k + 3}} > 2\left[ {k + 1} \right] + 5\] hay
\[{2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{ }}\left[ 2 \right]\]
Thật vậy, nhân hai vế của [1] với 2, ta được
\[{2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.\]
Vì \[2k + 3 > 0\] nên\[{2^{k + 3}} > 2k + 7\left[ {dpcm} \right].\]
LG b
\[{\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1.\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Với \[n = 1\] thì \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\] bất đẳng thức đúng.
Giả sử đã có \[{\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\] với \[k \ge 1,\] ta phải chứng minh \[{\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1.\]
Thật vậy, ta có
\[{\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \] \[ = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \] \[ \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1.\]