Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = SB = SC = AB = AC = a\]và \[BC = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa hai đường thẳng \[AB\]và \[SC\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức: \[\cos \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\]
Lời giải chi tiết
Cách thứ nhất
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại Anên \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 0\]và tam giác SAB đều nên \[\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {120^0}\].
\[\eqalign{
& \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr
& \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2} \cr
& \Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr
& = {{ - {{{a^2}} \over 2}} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2} \cr}\]
Do đó góc giữa hai đường thẳng \[SC\] và \[ AB\] bằng 60°.
Cách thứ hai
Gọi \[M, N, P\] lần lượt là trung điểm của \[SA, SB, AC\]. Để tính góc giữa hai đường thẳng \[SC\] và \[AB\], ta cần tính \[\widehat {NMP}\].
Ta có
\[NB = MP = {a \over 2},S{P^2} = {{3{a^2}} \over 4},B{P^2} = {{5{a^2}} \over 4}\]
\[P{B^2} + S{P^2} = 2N{P^2} + {{S{B^2}} \over 2} \Rightarrow N{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 4}\]
Mặt khác:
\[N{P^2} = N{M^2} + M{P^2} - 2MN.MP\cos \widehat {NMP}\]
\[ \Rightarrow \cos \widehat {NMP} = - {{{{{a^2}} \over 4}} \over {2.{a \over 2}.{a \over 2}}} = - {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}\]
Vậy góc giữa hai đường thẳng \[SC\] và \[AB\] bằng 60°.