Đề bài
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}}\].Phương trình \[f\left[ x \right] = 0\]có nghiệm hay không
a] trong khoảng \[[1; 3] \]?
b] trong khoảng \[[-3; 1] \]?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Nếu \[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\] thì tồn tại ít nhất một số \[c \in \left[ {a;b} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0\].
Lời giải chi tiết
a] Với \[x \ne 2\]ta có \[{{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 8x + 1 = 0\]
Vì \[{x^3} + 8x + 1 > 0\]với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]nên phương trình \[{x^3} + 8x + 1 = 0\]không có nghiệm trong khoảng này.
b] \[f\left[ x \right]\]là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên \[\left[ { - \infty ;2} \right]\].Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]
Mặt khác, \[f\left[ { - 3} \right]f\left[ 1 \right] = - 100 < 0\]
Do đó, phương trình \[f\left[ x \right] = 0\]có nghiệm trong khoảng [- 3; 1].