- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh các đẳng thức sau với \[n \in {N^*}\]
LG a
\[{A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}} \] \[= \dfrac{{n\left[ {n + 3} \right]}}{{4\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}}\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\]
Lời giải chi tiết:
Kiểm tra với \[n = 1,\] ta có \[{A_1} = \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{{1.\left[ {1 + 3} \right]}}{{4.2.3}}\].
Giả sử ta có \[{A_k} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}} = \dfrac{{k\left[ {k + 3} \right]}}{{4\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}\]
Ta cần chứng minh \[{A_{k + 1}} = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 4} \right]}}{{4\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\]
Thật vậy,
\[{A_{k + 1}} = {A_k} + \dfrac{1}{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\] \[ = \dfrac{{k\left[ {k + 3} \right]}}{{4\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}} + \dfrac{1}{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\]
\[ = \dfrac{{k{{\left[ {k + 3} \right]}^2} + 4}}{{4\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\] \[ = \dfrac{{{k^3} + 6{k^2} + 9k + 4}}{{4\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\] \[ = \dfrac{{\left[ {k + 4} \right]{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}{{4\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\] \[ = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 4} \right]}}{{4\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
LG b
\[{B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left[ {n + 1} \right]}}{2} \] \[= \dfrac{{n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}}{6}\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Kiểm tra với \[n = 1\] ta có \[{B_1} = \dfrac{{1.\left[ {1 + 1} \right]}}{2} = 1 = \dfrac{{1\left[ {1 + 1} \right]\left[ {1 + 2} \right]}}{6}\] nên \[n = 1\] đúng.
Giả sử đã có \[{B_k} = \dfrac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}{6}.\]
Ta cần chứng minh \[{B_{k + 1}} = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}{6}\]
Thật vậy,
\[{B_{k + 1}} = {B_k} + \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}{2}\] \[ = \dfrac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}{6} + \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}{2}\] \[ = \dfrac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right] + 3\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]}}{6}\] \[ = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {k + 3} \right]}}{6}\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
LG c
\[{S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx \] \[= \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left[ {n + 1} \right]x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Kiểm tra với \[n = 1\] ta có: \[{S_1} = \sin x = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\] nên đúng.
Giả sử đã có \[{S_k} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\]
Ta cần chứng minh \[{S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]x}}{2}.\sin \dfrac{{\left[ {k + 2} \right]x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\]
Thật vậy,
\[{S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left[ {k + 1} \right]x\] \[ = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left[ {k + 1} \right]x\] \[ = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right] - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left[ {2k + 3} \right]x}}{2} - \cos \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]x}}{2}} \right]}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\]
\[ = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left[ {2k + 3} \right]x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right]}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\] \[ = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left[ {k + 2} \right]x}}{2}\sin \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\]
Vậy \[{S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]x}}{2}.\sin \dfrac{{\left[ {k + 2} \right]x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\left[ {dpcm} \right].\]