- LG a
- LG b
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
LG a
\[{\left[ {{x^2} - 2x} \right]^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\]
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn [nếu có]
- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.
- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle \eqalign{
& {\left[ {{x^2} - 2x} \right]^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - 2x} \right]^2} - 2\left[ {{x^2} - 2x} \right] - 3 = 0 \cr} \]
Đặt \[\displaystyle {x^2} - 2x = t,\]ta có phương trình:\[\displaystyle {t^2} - 2t - 3 = 0\]
Phương trình có:
\[\displaystyle a - b + c = 1 - \left[ { - 2} \right] + \left[ { - 3} \right] = 0\]
Nên có hai nghiệm: \[\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\]
Với \[t=-1\] ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 1} \right]^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \]
Phương trình có nghiệm kép: \[\displaystyle x_1= x_2= 1\]
Với \[t=3\] ta có:
\[\displaystyle {x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\]
Phương trình này có:\[\displaystyle a - b + c =\displaystyle 1 - \left[ { - 2} \right] + \left[ { - 3} \right] = 0\]
Nên có hai nghiệm: \[\displaystyle {x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\]
Vậy phương trình đã cho có \[\displaystyle 3\] nghiệm:\[\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = 3\]
LG b
\[3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\]
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn [nếu có]
- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.
- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[\displaystyle {x^2} + x + 1 = {\left[ {x + {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \ge 0\] với mọi \[x\]
Nên \[\displaystyle 3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\]
Đặt \[\displaystyle \sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\]
Ta có phương trình:\[\displaystyle {t^2} - 3t + 2 = 0\]
Phương trình này có dạng:\[\displaystyle a + b + c = 1 + \left[ { - 3} \right] + 2 = 0\]
Nên có hai nghiệm: \[\displaystyle {t_1} = 1;{t_2} = 2\] [thỏa mãn điều kiện]
Với \[t=1\] ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left[ {x + 1} \right] = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \]
Với \[t=2\] ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left[ { - 3} \right] = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có \[\displaystyle 4\] nghiệm:\[ {x_1} = 0;{x_2} = -1;\] \[\displaystyle {x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\]