- LG a
- LG b
- LG c
Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
LG a
\[1 - i\tan {\pi \over 5}\]
Phương pháp giải:
Dạng lượng giác của số phức \[z = r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[1 - i\tan {\pi \over 5} \] \[= 1 - i{{\sin {\pi \over 5}} \over {\cos {\pi \over 5}}}\] \[ = {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos {\pi \over 5} - i\sin {\pi \over 5}} \right] \] \[= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 5}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 5}} \right]} \right]\]
LG b
\[\tan {{5\pi } \over 8} + i;\]
Lời giải chi tiết:
\[\tan {{5\pi } \over 8} + i \] \[= \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i \] \[= \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right]\] \[= {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left[ { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right]\]
[do \[\cos {{5\pi } \over 8} < 0\]]
\[ = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left[ -{\cos {\pi \over 8} + i\sin {\pi \over 8}} \right] \] \[= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left[ {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right]\]
LG c
\[{\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \] \[ \left[ {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right]{\rm{ }}\]
Lời giải chi tiết:
\[1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \] \[= 2\sin^2 {\varphi \over 2} - 2i\sin {\varphi \over 2}\cos {\varphi \over 2} \] \[= 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {\sin {\varphi \over 2} - i\cos {\varphi \over 2}} \right]\]
Khi \[\sin {\varphi \over 2} > 0\]thì \[\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \] \[= {2\sin {\varphi \over 2}} \left[ {\cos \left[ {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right] +i\sin\left[ {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right]} \right]\]là dạng lượng giác cần tìm.
Khi \[\sin {\varphi \over 2} < 0\]thì \[\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \] \[= \left[ { - 2\sin {\varphi \over 2}} \right]\left[ {\cos \left[ {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right] + i\sin \left[ {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right]} \right]\]là dạng lượng giác cần tìm.
Còn khi \[\sin {\varphi \over 2} = 0\]thì \[\,\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi = 0 = 0\left[ {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right]\,\,[\alpha \in\mathbb R\]tùy ý].