- LG a
- LG b
Cho các số phức \[{\rm{w}}= {{\sqrt 2 } \over 2}\left[ {1 + i} \right]\]và \[\varepsilon = {1 \over 2}\left[ { - 1 + i\sqrt 3 } \right]\]
LG a
Chứng minh rằng \[{z_o} = \cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}},\,{z_1} = {z_o}\varepsilon ,\] \[{z_2} = {z_o}{\varepsilon ^2}\]là các nghiệm của phương trình \[{z^3} - {\rm{w}} = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[w = \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}\]
\[\eqalign{ & \varepsilon = \cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}\cr &\Rightarrow {\varepsilon ^3} = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1 \cr & z_o^3 = {\left[ {\cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}}} \right]^3} \cr &= \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4} ={\rm{w}} \cr & z_1^3 = {\left[ {{z_o}\varepsilon } \right]^3} = z_o^3.{\varepsilon ^3} = {\rm{w}}\,\,\left[ {\text{vì}\,\,\,{\varepsilon ^3} = 1} \right], \cr & z_2^3 = {\left[ {z_o{\varepsilon ^2}} \right]^3} = z_o^3{\varepsilon ^6} = z_o^3 ={\rm{w}}\cr} \]
Do đó các số phức \[{z_0},{z_0}\varepsilon ,{z_0}{\varepsilon ^2}\] đều là nghiệm của phương trình \[z^3-w=0\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow z_0^3 = \cos \dfrac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{{12}}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left[ {1 + i} \right] = w\\ \Rightarrow z_0^3 = w \Rightarrow z_0^3 - w = 0\end{array}\]
\[ \Rightarrow {z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\] là nghiệm của phương trình \[{z^3} - w = 0\].
\[\begin{array}{l}\varepsilon = \dfrac{1}{2}\left[ { - 1 + i\sqrt 3 } \right] = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \\ = \cos \left[ {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right] + i\sin \left[ {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right]\\ = \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Rightarrow z_1^3 = \cos \dfrac{{9\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{9\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_1^3 - w = 0\end{array}\]
\[ \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \] là một nghiệm của phương trình \[{z^3} - w = 0\].
\[\begin{array}{l}\varepsilon = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {\varepsilon ^2} = \cos \dfrac{{4\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{4\pi }}{3}\\ \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\\ = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right] + i\sin \left[ {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right]\\ = \cos \dfrac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{{12}}\\ \Rightarrow z_2^3 = \cos \dfrac{{17\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_2^3 - w = 0\end{array}\]
\[ \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\] là một nghiệm của phương trình \[{z^3} - w = 0\].
LG b
Biểu diễn hình học các số phức \[{z_o},\,{z_1},\,{z_2}\]
Lời giải chi tiết:
Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn \[{z_0},\,\,{z_1},\,\,{z_2}\]
\[\begin{array}{l}
{z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\\
{z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\\
{z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}
\end{array}\]
Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.