Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
LG a
\[3{[{x^2} + {\rm{ }}x]^2}-{\rm{ }}2[{x^2} + {\rm{ }}x]{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Phương pháp giải:
Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\], ta có phương trình \[3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \[t\]. Thay mỗi giá trị của \[t\] vừa tìm được vào đằng thức \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\],ta được một phương trình của ẩn \[x\]. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \[x\].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{x^2} + x = t\] ta được phương trình \[3{t^2} - 2t - 1 = 0\]
Phương trình này có \[a + b + c = 3 + \left[ { - 2} \right] + \left[ { - 1} \right] = 0\] nên có hai nghiệm \[t = 1;t = - \dfrac{1}{3}\]
+ Với \[{t_1} = 1\] ta có \[{x^2} + x = 1\] hay \[{x^2} + x - 1 = 0\] có \[\Delta = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\]
+ Với \[t = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {x^2} + x = - \dfrac{1}{3}\]\[ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 1 = 0\] có \[\Delta = {3^2} - 4.3.1 = - 3 < 0\] nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã chocó hai nghiệm \[{x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\]
LG b
\[{[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2]^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Phương pháp giải:
Đặt \[{x^2} - 4x + 2 = t\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}{\left[ {{x^2} - 4x + 2} \right]^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - 4x + 2} \right]^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}\]
Đặt \[t = {x^2} - 4x + 2\] ta được phương trình \[{t^2} + t - 6 = 0\] có \[\Delta = {1^2} - 4.1.\left[ { - 6} \right] = 25 > 0 \]\[\Rightarrow \sqrt \Delta = 5\] nên có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\\t = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\end{array} \right.\]
+ Với \[t = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x + 2 = 2 \]\[\Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \]\[\Leftrightarrow x\left[ {x - 4} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\]
+ Với \[t = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = - 3\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\] có \[\Delta = {\left[ { - 4} \right]^2} - 4.1.5 = - 4 < 0\] nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = 0;x = 4.\]
LG c
\[x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\]
Phương pháp giải:
Đặt \[\sqrt x = t\left[ {t \ge 0} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7 \]\[\Leftrightarrow x - 6\sqrt x - 7 = 0\]
ĐK: \[x \ge 0\]
Đặt \[\sqrt x = t\,\left[ {t \ge 0} \right]\] ta được phương trình \[{t^2} - 6t - 7 = 0\] có \[a - b + c = 1 - \left[ { - 6} \right] + \left[ { - 7} \right] = 0\] nên có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}t = - 1\left[ L \right]\\t = 7\left[ N \right]\end{array} \right.\]
Với \[t = 7 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left[ {TM} \right]\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 49.\]
LG d
\[\dfrac{x}{x+ 1} 10 . \dfrac{x+1}{x}= 3\]
Phương pháp giải:
Đặt \[\dfrac{x+1}{x} = t\] hoặc \[\dfrac{x}{x+ 1} = t\]
Lời giải chi tiết:
ĐK:\[x \ne \left\{ { - 1;0} \right\}\]
Đặt \[\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}\] , ta có phương trình \[t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0\]
Phương trình trên có \[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.1.\left[ { - 10} \right] = 49 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 7\] nên có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5\\t = \dfrac{{3 - 7}}{2} = - 2\end{array} \right.\]
+ Với \[t = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \\\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left[ {TM} \right]\]
+ Với \[t = - 2 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = - 2\\ \Rightarrow x = - 2x - 2 \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\left[ {TM} \right]\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[x = - \dfrac{5}{4};x = - \dfrac{2}{3}.\]