Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC [H thuộc BC] trên tia AH lấy E sao cho H là trung điểm của AE. Trên tia đối của tia CB lấy F sao cho \[CF = BC\]. Gọi M là trung điểm EB.
Chứng minh rằng: A, C, M thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Lời giải chi tiết
Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có:
+] AH cạnh chung;
+] \[AB = AC\] [gt].
Do đó \[\Delta AHB = \Delta AHC\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow HB = HC = \dfrac{1 }{ 2}BC,\]
Mà \[CF = BC\] [gt] \[ \Rightarrow HC = \dfrac{1 }{ 2}CF\].
Mặt khác H là trung điểm của AE [gt] nên FH là đường trung tuyến của \[\Delta A{\rm{E}}F\], lại có \[HC = \dfrac{1 }{2}CF\] [cmt], do đó C là trọng tâm của \[\Delta A{\rm{E}}F\].
Vì M là trung điểm của EF [gt] nên AM là trung tuyến của \[\Delta A{\rm{E}}F\].
Do đó AM phải đi qua trọng tâm C.
Hay ba điểm A, C, M thẳng hàng.